与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。 (1) 中心$(2, -1)$, 半径$5$の円 (2) 中心$(-3, 2)$, 点$(-1, -2)$を通る円 (3) 2点$(-3, 2)$, $(1, 4)$を直径の両端とする円 (4) 原点と点$(3, 4)$を直径の両端とする円

## Q17.1

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。

(1) 中心$(2, -1)$, 半径$5$の円

(2) 中心$(-3, 2)$, 点$(-1, -2)$を通る円

(3) 2点$(-3, 2)$, $(1, 4)$を直径の両端とする円

(4) 原点と点$(3, 4)$を直径の両端とする円

2. 解き方の手順

(1) 中心$(a, b)$, 半径$r$の円の方程式は$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$で表される。したがって、中心$(2, -1)$, 半径$5$の円の方程式は$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$。

(2) 中心$(-3, 2)$の円の方程式は$(x+3)^2 + (y-2)^2 = r^2$と表せる。この円が点$(-1, -2)$を通るので、これを代入して半径$r$を求める。

$(-1+3)^2 + (-2-2)^2 = r^2$

$4 + 16 = r^2$

$r^2 = 20$

したがって、円の方程式は$(x+3)^2 + (y-2)^2 = 20$。

(3) 直径の両端が$(-3, 2)$, $(1, 4)$である円の中心は、2点の中点である。

中心の座標は$(((-3) + 1)/2, (2 + 4)/2) = (-1, 3)$。

半径は中心と端点間の距離である。中心と点$(1, 4)$との距離を計算する。

$r = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$

したがって、円の方程式は$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5$。

(4) 直径の両端が原点と$(3, 4)$である円の中心は、2点の中点である。

中心の座標は$((0 + 3)/2, (0 + 4)/2) = (3/2, 2)$。

半径は中心と端点間の距離である。中心と点$(3, 4)$との距離を計算する。

$r = \sqrt{(3 - (3/2))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(3/2)^2 + 2^2} = \sqrt{9/4 + 4} = \sqrt{25/4} = 5/2$

したがって、円の方程式は$(x - (3/2))^2 + (y - 2)^2 = (25/4)$。

3. 最終的な答え

(1) $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$

(2) $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 20$

(3) $(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5$

(4) $(x - (3/2))^2 + (y - 2)^2 = (25/4)$

## Q17.2

1. 問題の内容

与えられた方程式がどのような図形を表すか答える問題です。

(1) $x^2 + y^2 = 16$

(2) $x^2 + y^2 + 6x + 8 = 0$

(3) $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$

(4) $x^2 + y^2 - 4x + 8y + 18 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 = 16$は、中心が原点$(0,0)$, 半径が$4$の円を表す。

(2) $x^2 + y^2 + 6x + 8 = 0$を平方完成する。

$(x^2 + 6x) + y^2 = -8$

$(x^2 + 6x + 9) + y^2 = -8 + 9$

$(x + 3)^2 + y^2 = 1$

これは、中心が$(-3, 0)$, 半径が$1$の円を表す。

(3) $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$を平方完成する。

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) = -1$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = -1 + 1 + 4$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

これは、中心が$(-1, 2)$, 半径が$2$の円を表す。

(4) $x^2 + y^2 - 4x + 8y + 18 = 0$を平方完成する。

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 8y) = -18$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 8y + 16) = -18 + 4 + 16$

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 2$

これは、中心が$(2, -4)$, 半径が$\sqrt{2}$の円を表す。

3. 最終的な答え

(1) 中心が原点$(0,0)$, 半径が$4$の円

(2) 中心が$(-3, 0)$, 半径が$1$の円

(3) 中心が$(-1, 2)$, 半径が$2$の円

(4) 中心が$(2, -4)$, 半径が$\sqrt{2}$の円

## Q17.3

1. 問題の内容

与えられた3点を通る円の方程式を求め、その円の中心と半径を求める問題です。

(1) 原点$(0,0), (5,-5), (-3, -1)$

(2) $(0,6), (8,2), (-7, -3)$

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$とおき、与えられた3点を代入してA, B, Cを求める。

$(0,0)$を代入すると、$C = 0$

$(5,-5)$を代入すると、$25 + 25 + 5A - 5B = 0 \implies 5A - 5B = -50 \implies A - B = -10$

$(-3,-1)$を代入すると、$9 + 1 - 3A - B = 0 \implies -3A - B = -10 \implies 3A + B = 10$

2式を足し合わせると、$4A = 0 \implies A = 0$

$A - B = -10$に$A = 0$を代入すると、$-B = -10 \implies B = 10$

したがって、円の方程式は$x^2 + y^2 + 10y = 0$。

平方完成すると、$x^2 + (y^2 + 10y + 25) = 25 \implies x^2 + (y + 5)^2 = 25$。

中心は$(0, -5)$, 半径は$5$。

(2) 円の方程式を$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$とおき、与えられた3点を代入してA, B, Cを求める。

$(0,6)$を代入すると、$36 + 6B + C = 0 \implies 6B + C = -36$

$(8,2)$を代入すると、$64 + 4 + 8A + 2B + C = 0 \implies 8A + 2B + C = -68$

$(-7,-3)$を代入すると、$49 + 9 - 7A - 3B + C = 0 \implies -7A - 3B + C = -58$

$8A + 2B + C = -68$と$-7A - 3B + C = -58$の差をとると、$15A + 5B = -10 \implies 3A + B = -2 \implies B = -3A - 2$

$6B + C = -36$に代入すると、$6(-3A-2) + C = -36 \implies -18A - 12 + C = -36 \implies C = 18A - 24$

$8A + 2B + C = -68$に$B$と$C$を代入すると、$8A + 2(-3A - 2) + 18A - 24 = -68 \implies 8A - 6A - 4 + 18A - 24 = -68 \implies 20A = -40 \implies A = -2$

$B = -3(-2) - 2 = 6 - 2 = 4$

$C = 18(-2) - 24 = -36 - 24 = -60$

したがって、円の方程式は$x^2 + y^2 - 2x + 4y - 60 = 0$。

平方完成すると、$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 60 + 1 + 4 \implies (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 65$。

中心は$(1, -2)$, 半径は$\sqrt{65}$。

3. 最終的な答え

(1) 円の方程式は$x^2 + (y + 5)^2 = 25$, 中心は$(0, -5)$, 半径は$5$

(2) 円の方程式は$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 65$, 中心は$(1, -2)$, 半径は$\sqrt{65}$

## Q17.4

1. 問題の内容

2点A(-4,0), B(4,0) に対して, AP:BP = 1:3を満たす点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pの座標を$(x, y)$とする。AP:BP = 1:3より、3AP = BP。

したがって、$9AP^2 = BP^2$

$9((x+4)^2 + y^2) = (x-4)^2 + y^2$

$9(x^2 + 8x + 16 + y^2) = x^2 - 8x + 16 + y^2$

$9x^2 + 72x + 144 + 9y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2$

$8x^2 + 80x + 8y^2 + 128 = 0$

$x^2 + 10x + y^2 + 16 = 0$

$(x+5)^2 + y^2 = 25 - 16 = 9$

これは、中心が$(-5, 0)$, 半径が$3$の円の方程式である。

3. 最終的な答え

$(x+5)^2 + y^2 = 9$

## Q17.5

1. 問題の内容

与えられた楕円を図示し、頂点、焦点の座標を求め、焦点から楕円上の点までの距離の和を求める問題です。

(1) $x^2/9 + y^2/4 = 1$

(2) $x^2/16 + y^2/25 = 1$

(3) $x^2 + 9y^2 = 9$

(4) $25x^2 + 4y^2 = 100$

2. 解き方の手順

(1) $x^2/9 + y^2/4 = 1$は$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$の形であり、$a = 3$, $b = 2$である。

頂点は$(\pm 3, 0), (0, \pm 2)$。

$c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5$より、$c = \sqrt{5}$。

焦点は$(\pm \sqrt{5}, 0)$。

焦点からの距離の和は$2a = 6$。

(2) $x^2/16 + y^2/25 = 1$は$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$の形であり、$a = 4$, $b = 5$である。

頂点は$(\pm 4, 0), (0, \pm 5)$。

$c^2 = b^2 - a^2 = 25 - 16 = 9$より、$c = 3$。

焦点は$(0, \pm 3)$。

焦点からの距離の和は$2b = 10$。

(3) $x^2 + 9y^2 = 9$は、$x^2/9 + y^2/1 = 1$と変形できる。したがって、$a = 3$, $b = 1$である。

頂点は$(\pm 3, 0), (0, \pm 1)$。

$c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 1 = 8$より、$c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

焦点は$(\pm 2\sqrt{2}, 0)$。

焦点からの距離の和は$2a = 6$。

(4) $25x^2 + 4y^2 = 100$は、$x^2/4 + y^2/25 = 1$と変形できる。したがって、$a = 2$, $b = 5$である。

頂点は$(\pm 2, 0), (0, \pm 5)$。

$c^2 = b^2 - a^2 = 25 - 4 = 21$より、$c = \sqrt{21}$。

焦点は$(0, \pm \sqrt{21})$。

焦点からの距離の和は$2b = 10$。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(\pm 3, 0), (0, \pm 2)$, 焦点: $(\pm \sqrt{5}, 0)$, 焦点からの距離の和: $6$

(2) 頂点: $(\pm 4, 0), (0, \pm 5)$, 焦点: $(0, \pm 3)$, 焦点からの距離の和: $10$

(3) 頂点: $(\pm 3, 0), (0, \pm 1)$, 焦点: $(\pm 2\sqrt{2}, 0)$, 焦点からの距離の和: $6$

(4) 頂点: $(\pm 2, 0), (0, \pm 5)$, 焦点: $(0, \pm \sqrt{21})$, 焦点からの距離の和: $10$