与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数を微分します。 (1) $y = x^{\frac{3}{5}}$ (2) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^7}}$ (3) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 3}$ (4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数を微分します。

(1) $y = x^{\frac{3}{5}}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^7}}$

(3) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 3}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}$

2. 解き方の手順

各関数ごとに微分を計算します。

(1) $y = x^{\frac{3}{5}}$ の微分

べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{5}x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^7}}$ の微分

まず、式を整理します。$y = \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}} = x^{-\frac{7}{4}}$

次に、べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{7}{4}x^{-\frac{7}{4} - 1} = -\frac{7}{4}x^{-\frac{11}{4}}$

(3) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 3}$ の微分

合成関数の微分（チェーンルール）を用います。$u = x^2 + 2x + 3$ とおくと、$y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot (2x + 2) = \frac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}$ の微分

これも合成関数の微分（チェーンルール）を用います。$u = x^2 + 3$ とおくと、$y = \frac{1}{\sqrt{u}} = u^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2(x^2+3)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2(x^2+3)^{\frac{3}{2}}} \cdot 2x = -\frac{2x}{2(x^2 + 3)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{x}{(x^2 + 3)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{7}{4}x^{-\frac{11}{4}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{(x^2 + 3)^{\frac{3}{2}}}$