与えられた方程式 $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0$ が表す図形を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0$ が表す図形を求めよ。

2. 解き方の手順

この方程式を円の方程式の標準形である $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ に変形する。ここで $(a, b)$ は円の中心の座標、$r$ は半径である。

まず、$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめて平方完成を行う。

$x^2 - 6x$ の部分を平方完成させるために、$(x - 3)^2$ を考える。

$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ であるから、$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ となる。

同様に、$y^2 - 2y$ の部分を平方完成させるために、$(y - 1)^2$ を考える。

$(y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1$ であるから、$y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1$ となる。

これらを与えられた方程式に代入すると、

$(x - 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 + 6 = 0$

$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 - 4 = 0$

$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 4$

したがって、中心が $(3, 1)$ で半径が $r = \sqrt{4} = 2$ の円である。

3. 最終的な答え

中心 $(3, 1)$、半径 $2$ の円