三角形 ABC において、線分 PQ が線分 BC と平行である。AP = 6, PB = 4, AQ = 9, BC = 15 であるとき、線分 QC (x) と線分 PQ (y) の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、線分 PQ が線分 BC と平行である。AP = 6, PB = 4, AQ = 9, BC = 15 であるとき、線分 QC (x) と線分 PQ (y) の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

PQ // BC なので、三角形 APQ と三角形 ABC は相似である。したがって、相似比を使って線分の長さを求める。

まず、AP : AB = AQ : AC が成り立つ。AB = AP + PB = 6 + 4 = 10 であり、AC = AQ + QC = 9 + x である。したがって、

$6 : 10 = 9 : (9 + x)$

この比例式を解く。

$6(9 + x) = 90$

$54 + 6x = 90$

$6x = 36$

$x = 6$

したがって、QC = 6 である。

次に、AP : AB = PQ : BC が成り立つ。したがって、

$6 : 10 = y : 15$

この比例式を解く。

$10y = 90$

$y = 9$

したがって、PQ = 9 である。

3. 最終的な答え

QC (x) = 6

PQ (y) = 9