与えられた図において、$\triangle ABC$は$AB=AC$の二等辺三角形であり、$D, E$はそれぞれ辺$BC, AC$上の点であり、$AB=DC, BD=CE$である。 (1) $\triangle ABD$と$\triangle DCE$が合同であることを証明する。 (2) $\angle ADE = 56^\circ$のとき、$\angle DAE$の大きさを求める。 (3) $AE = 8cm, BC = 12cm$のとき、$\triangle ADE$の面積は$\triangle ABC$の面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

与えられた図において、$\triangle ABC$は$AB=AC$の二等辺三角形であり、$D, E$はそれぞれ辺$BC, AC$上の点であり、$AB=DC, BD=CE$である。

(1) $\triangle ABD$と$\triangle DCE$が合同であることを証明する。

(2) $\angle ADE = 56^\circ$のとき、$\angle DAE$の大きさを求める。

(3) $AE = 8cm, BC = 12cm$のとき、$\triangle ADE$の面積は$\triangle ABC$の面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD$と$\triangle DCE$の合同の証明

* 仮定より、$AB = DC$ ...(1)

* 仮定より、$BD = CE$ ...(2)

$\triangle ABC$は二等辺三角形なので、$\angle ABC = \angle ACB$ ...(3)

(1),(2),(3)より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \equiv \triangle DCE$

(2) $\angle DAE$の大きさを求める。

$\triangle ABD \equiv \triangle DCE$より、$\angle BAD = \angle CDE$

$\angle ADB = \angle DEC$

$\angle BAC = \angle BAC$

$\angle ADE = 56^{\circ}$より、$\angle ADB + \angle EDC = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ}$

ここで、$\angle ADB = \angle DEC$なので、$\angle ADB = \angle DEC = \frac{124^{\circ}}{2} = 62^{\circ}$

$\triangle ABD$において、$\angle BAD = 180^{\circ} - (\angle ABD + \angle ADB) = 180^{\circ} - (\angle ACB + 62^{\circ})$

$\triangle ABC$において、$\angle BAC + 2 \angle ACB = 180^{\circ}$より、$\angle ACB = \frac{180^{\circ} - \angle BAC}{2}$

$\angle BAC = \angle BAD + \angle DAE + \angle EAC$

$\angle BAD = \angle CDE$なので、

$\angle DAE = 180^{\circ} - (\angle ADE + \angle AED) = 180^{\circ} - (56^{\circ} + \angle AED)$

ここで、$\angle AED = 180^{\circ} - \angle DEC - \angle BEC$

$\angle B = \angle C$より、$\angle BAD = \angle CDE$なので、$\angle BAC + 2 \angle ABC = 180^{\circ}$

$\angle DAE = x$とおくと、

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180-x}{2}$

$\angle ADB + \angle ADE + \angle EDC = 180$

$\angle ADE = 56$

$\triangle ABD \equiv \triangle DCE$より、$\angle BAD = \angle CDE$

$\angle ABC = \angle ACB$

$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180$

$\angle DAE = 180 - 2\times56 = 68^\circ$

$\triangle ADE$において、$\angle AED = \angle ADE = 56^{\circ}$なので、$\triangle ADE$は二等辺三角形。したがって、$AD = AE$

$\triangle ABC$は二等辺三角形なので、$AB = AC$。

$AE=8cm, BC=12cm$

$\triangle ABC$の面積を$S_{ABC}$、$\triangle ADE$の面積を$S_{ADE}$とすると、

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \times AC \times \sin{\angle BAC}$

$S_{ADE} = \frac{1}{2}AD \times AE \times \sin{\angle DAE}$

$\angle BAC = 180^\circ - 2\times 56^\circ = 68^\circ$

$\angle DAE = 68^\circ$

$BC = BD+DC=12$

$S_{ADE} = \frac{1}{2} * AD*AE* \sin{\angle DAE}$

$S_{ABC} = \frac{1}{2}*AB*AC* \sin{\angle BAC}$

$AB = DC$

$AD = AE = 8$

$BC = 12$

$BD = CE$

$S_{ADE} = \frac{AE^2\sin(68)}{AB^2\sin(B)}$

$\frac{4}{9}$

(3) $\triangle ADE$の面積は$\triangle ABC$の面積の何倍か？

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle DCE$

(2) $\angle DAE = 68^\circ$

(3) $\frac{4}{9}$倍