Oを原点とする座標空間内に4点A(1, 0, -1), B(2, 1, 0), C(-1, 2, -1), D(-2, -1, 3)がある。線分ABを $s:(1-s)$ に内分する点をPとし、線分CDを $t:(1-t)$ に内分する点をQとする。 (1) $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{PQ}$ で定まる点Rに対し、$\overrightarrow{OR}$ を $s, t$ を用いて表せ。 (2) $s, t$ が $0 \le s \le 1, 0 \le t \le 1$ の範囲を動くとき、点Rが描く図形Fの面積を求めよ。 (3) 図形Fを含む平面に垂直な単位ベクトルを求めよ。 (4) 点Rが図形F上を動くとき、線分ORが動いてできる立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

Oを原点とする座標空間内に4点A(1, 0, -1), B(2, 1, 0), C(-1, 2, -1), D(-2, -1, 3)がある。線分ABを $s:(1-s)$ に内分する点をPとし、線分CDを $t:(1-t)$ に内分する点をQとする。

(1) $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{PQ}$ で定まる点Rに対し、$\overrightarrow{OR}$ を $s, t$ を用いて表せ。

(2) $s, t$ が $0 \le s \le 1, 0 \le t \le 1$ の範囲を動くとき、点Rが描く図形Fの面積を求めよ。

(3) 図形Fを含む平面に垂直な単位ベクトルを求めよ。

(4) 点Rが図形F上を動くとき、線分ORが動いてできる立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点P, Qの位置ベクトルを $s, t$ を用いて表す。

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB} = (1-s)(1, 0, -1) + s(2, 1, 0) = (1+s, s, -1+s)$

$\overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{OD} = (1-t)(-1, 2, -1) + t(-2, -1, 3) = (-1-t, 2-3t, -1+4t)$

$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (-1-t, 2-3t, -1+4t) - (1+s, s, -1+s) = (-2-s-t, 2-s-3t, -s+4t)$

よって、$\overrightarrow{OR} = (-2-s-t, 2-s-3t, -s+4t)$

(2)

$\overrightarrow{OR} = (-2, 2, 0) + s(-1, -1, -1) + t(-1, -3, 4)$

$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OA'} + s\overrightarrow{u} + t\overrightarrow{v}$

ただし、$\overrightarrow{OA'} = (-2, 2, 0)$, $\overrightarrow{u} = (-1, -1, -1)$, $\overrightarrow{v} = (-1, -3, 4)$

ここで、$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ は平行でないので、Rは平行四辺形を描く。

平行四辺形の面積は $|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|$ である。

$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(4) - (-1)(-3) \\ (-1)(-1) - (-1)(4) \\ (-1)(-3) - (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = \sqrt{(-7)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{49+25+4} = \sqrt{78}$

図形Fの面積は $\sqrt{78}$

(3)

図形Fを含む平面に垂直な単位ベクトルは、$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$ の単位ベクトルである。

$\pm \frac{\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|} = \pm \frac{1}{\sqrt{78}} \begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} -7/\sqrt{78} \\ 5/\sqrt{78} \\ 2/\sqrt{78} \end{pmatrix}$

(4)

$\overrightarrow{OA'} = (-2, 2, 0)$ は平行四辺形に含まれる平面上のベクトルではないので、原点は平面外にある。したがって、求める体積は

$V = \frac{1}{3} |\overrightarrow{OA'} \cdot (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v})| = \frac{1}{3} |(-2, 2, 0) \cdot (-7, 5, 2)| = \frac{1}{3} |(-2)(-7) + (2)(5) + (0)(2)| = \frac{1}{3}|14+10+0| = \frac{24}{3} = 8$

したがって求める体積は8

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OR} = (-2-s-t, 2-s-3t, -s+4t)$

(2) $\sqrt{78}$

(3) $\pm \begin{pmatrix} -7/\sqrt{78} \\ 5/\sqrt{78} \\ 2/\sqrt{78} \end{pmatrix}$

(4) 8