3次関数 $y = x^3 - 3x + 5$ の極値を求め、そのグラフを描く。

1. 問題の内容

3次関数 $y = x^3 - 3x + 5$ の極値を求め、そのグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y = x^3 - 3x + 5$ を $x$ で微分すると、

$y' = 3x^2 - 3$

(2) 次に、導関数 $y'$ が0になる $x$ の値を求める。つまり、$3x^2 - 3 = 0$ を解く。

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 - 1 = 0$

$(x - 1)(x + 1) = 0$

よって、$x = 1, -1$

(3) $x = 1, -1$ のそれぞれについて、$y$ の値を計算する。

$x = 1$ のとき、

$y = (1)^3 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$

$x = -1$ のとき、

$y = (-1)^3 - 3(-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7$

したがって、$(1, 3)$ と $(-1, 7)$ が極値の候補となる。

(4) 導関数の符号の変化を調べる。

$x < -1$ のとき、$y' = 3x^2 - 3 > 0$ (例: $x = -2$ のとき $y' = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$)

$-1 < x < 1$ のとき、$y' = 3x^2 - 3 < 0$ (例: $x = 0$ のとき $y' = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$)

$x > 1$ のとき、$y' = 3x^2 - 3 > 0$ (例: $x = 2$ のとき $y' = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$)

$x = -1$ で $y'$ の符号が正から負に変わるので、$(-1, 7)$ は極大値である。

$x = 1$ で $y'$ の符号が負から正に変わるので、$(1, 3)$ は極小値である。

(5) グラフを描く。

極大値 $(-1, 7)$、極小値 $(1, 3)$ をとり、xが十分大きいときyは大きくなり、xが十分小さいときyは小さくなるような3次関数のグラフを描く。

3. 最終的な答え

極大値: $(-1, 7)$

極小値: $(1, 3)$

グラフについては、座標平面上に極大値と極小値をプロットし、3次関数の形状を考慮して滑らかな曲線を描くことで、グラフを描くことができます。