以下の連立不等式を満たす領域を求める問題です。 $\begin{cases} x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\ y - x \le 6 \end{cases}$

1. 問題の内容

以下の連立不等式を満たす領域を求める問題です。

$\begin{cases}

x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\

y - x \le 6

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、$|x|$を処理するために、$x \ge 0$の場合と$x < 0$の場合に分けて考えます。

(i) $x \ge 0$ のとき、 $|x| = x$ なので、不等式は次のようになります。

$\begin{cases}

x^2 + y^2 - 6x - 6y \le 0 \\

y - x \le 6

\end{cases}$

$x^2 - 6x + y^2 - 6y \le 0$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 6y + 9) \le 18$

$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$

これは、中心$(3, 3)$、半径$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$の円の内部（境界を含む）を表します。

また、$y - x \le 6$ は、$y \le x + 6$ であり、直線 $y = x + 6$ の下側（境界を含む）を表します。

したがって、$x \ge 0$ の範囲では、円 $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$ の内部かつ直線 $y \le x + 6$ の下側で、$x \ge 0$ を満たす領域が解となります。

(ii) $x < 0$ のとき、 $|x| = -x$ なので、不等式は次のようになります。

$\begin{cases}

x^2 + y^2 + 6x - 6y \le 0 \\

y - x \le 6

\end{cases}$

$x^2 + 6x + y^2 - 6y \le 0$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 6y + 9) \le 18$

$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$

これは、中心$(-3, 3)$、半径$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$の円の内部（境界を含む）を表します。

また、$y - x \le 6$ は、$y \le x + 6$ であり、直線 $y = x + 6$ の下側（境界を含む）を表します。

したがって、$x < 0$ の範囲では、円 $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$ の内部かつ直線 $y \le x + 6$ の下側で、$x < 0$ を満たす領域が解となります。

以上の(i)と(ii)で求めた領域を合わせたものが、この連立不等式の解となります。

3. 最終的な答え

連立不等式の解は、以下の領域です。

* $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$ かつ $y \le x + 6$ かつ $x \ge 0$

* $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$ かつ $y \le x + 6$ かつ $x < 0$

これらの領域を図示することで、より明確な解が得られます。