$m$ と $n$ は $m < n$ を満たす自然数とします。$m \times n$ 行列 $A$ を係数行列、$x$ を未知数ベクトルとする同次連立1次方程式 $Ax = 0$ は非自明解を持つことを示してください。

1. 問題の内容

$m$ と $n$ は $m < n$ を満たす自然数とします。$m \times n$ 行列 $A$ を係数行列、$x$ を未知数ベクトルとする同次連立1次方程式 $Ax = 0$ は非自明解を持つことを示してください。

2. 解き方の手順

同次連立1次方程式 $Ax = 0$ が非自明解を持つための条件を考えます。$A$ は $m \times n$ 行列なので、$x$ は $n$ 次元ベクトルです。

$Ax = 0$ が非自明解を持つための必要十分条件は、$A$ のランク $rank(A)$ が $n$ より小さいことです。つまり、$rank(A) < n$ である必要があります。

$A$ は $m \times n$ 行列なので、$A$ のランクは $m$ を超えることはありません。したがって、$rank(A) \le m$ です。

問題の条件から $m < n$ であるので、$rank(A) \le m < n$ となります。つまり、$rank(A) < n$ が成り立ちます。

したがって、$Ax = 0$ は非自明解を持ちます。

3. 最終的な答え

$m < n$ であるとき、$m \times n$ 行列 $A$ を係数行列とする同次連立1次方程式 $Ax = 0$ は非自明解を持つ。