実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 = 4$ より、$y^2 = 4 - x^2$ である。

これを $4x + 2y^2$ に代入すると、

$4x + 2y^2 = 4x + 2(4 - x^2) = 4x + 8 - 2x^2 = -2x^2 + 4x + 8 = -2(x^2 - 2x) + 8 = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 8 = -2((x - 1)^2 - 1) + 8 = -2(x - 1)^2 + 2 + 8 = -2(x - 1)^2 + 10$

ここで、$x$ は実数であり、$x^2 + y^2 = 4$ を満たすので、$x$ の範囲は $-2 \leq x \leq 2$ である。

$f(x) = -2(x - 1)^2 + 10$ とおくと、$f(x)$ は上に凸な放物線であり、軸は $x = 1$ である。

$x$ の範囲 $-2 \leq x \leq 2$ において、

$x = 1$ のとき、最大値 $f(1) = -2(1 - 1)^2 + 10 = 10$ をとる。このとき、$y^2 = 4 - x^2 = 4 - 1^2 = 3$ より、$y = \pm \sqrt{3}$。

$x = -2$ のとき、$f(-2) = -2(-2 - 1)^2 + 10 = -2(9) + 10 = -18 + 10 = -8$ をとる。このとき、$y^2 = 4 - x^2 = 4 - (-2)^2 = 0$ より、$y = 0$。

$x = 2$ のとき、$f(2) = -2(2 - 1)^2 + 10 = -2(1) + 10 = 8$ をとる。このとき、$y^2 = 4 - x^2 = 4 - 2^2 = 0$ より、$y = 0$。

よって、最大値は $10$ であり、$x = 1, y = \pm \sqrt{3}$ のとき。

最小値は $-8$ であり、$x = -2, y = 0$ のとき。

3. 最終的な答え

最大値：$10$ ($x = 1, y = \pm \sqrt{3}$ のとき)

最小値：$-8$ ($x = -2, y = 0$ のとき)