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はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

代数学ベクトルベクトルの演算内積線形結合媒介変数表示直交
2025/5/21
はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。
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1. 問題の内容**

複数のベクトルに関する問題です。

1. 与えられた等式を満たすベクトル $\vec{x}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表す。

2. $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $\frac{2\pi}{3}$ のとき、$|\vec{a} + 2\vec{b}|$ の大きさを求める。

3. 平行四辺形 ABCD において、$|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = 2(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2)$ が成り立つことを証明する。

4. $\vec{a} = (4, 3)$, $\vec{b} = (x, -2)$ のとき、

* (a⃗+b⃗)//(a⃗−b⃗)(\vec{a} + \vec{b}) // (\vec{a} - \vec{b}) となるような xx の値を定める。
* (a⃗+b⃗)⊥(a⃗−b⃗)(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} - \vec{b}) となるような xx の値を定める。

5. $\triangle ABC$ について、3 辺 BC, CA, AB の中点をそれぞれ L, M, N とし、任意の 1 点を O とするとき、$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OL} + \vec{OM} + \vec{ON}$ が成り立つことを証明する。

6. 直線 $l$ の媒介変数 $t$ による方程式が $x = 1 - 3t$, $y = -2 + 2t$ ($t$ は実数) であるとき、$x, y$ の関係式で表された $l$ の方程式を求める。

7. 直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ について、

* ll の法線ベクトルを 1 つ求める。
* 点 PP を通り ll に直交する直線を l1l_1 とするとき、l1l_1 の媒介変数による方程式を求める。
* ll と l1l_1 の交点の座標を求める。

8. $\vec{a} = (1, 2)$, $\vec{b} = (3, 7)$, $\vec{c} = (4, 6)$ のとき、

* c⃗\vec{c} を a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} の線形結合で表す。
* a⃗\vec{a} を b⃗,c⃗\vec{b}, \vec{c} の線形結合で表す。
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2. 解き方の手順**

一つずつ解いていきます。

1. (1) $3(\vec{a} + \vec{b} + \vec{x}) = 5\vec{b}$ より、

a⃗+b⃗+x⃗=53b⃗\vec{a} + \vec{b} + \vec{x} = \frac{5}{3}\vec{b}
x⃗=53b⃗−a⃗−b⃗\vec{x} = \frac{5}{3}\vec{b} - \vec{a} - \vec{b}
x⃗=−a⃗+23b⃗\vec{x} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}
(2) 2a⃗−3x⃗=x⃗−3b⃗2\vec{a} - 3\vec{x} = \vec{x} - 3\vec{b} より、
2a⃗+3b⃗=4x⃗2\vec{a} + 3\vec{b} = 4\vec{x}
x⃗=12a⃗+34b⃗\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}

2. $|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 |\vec{b}|^2$

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡2π3=3⋅4⋅(−12)=−6\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \frac{2\pi}{3} = 3 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -6
∣a⃗+2b⃗∣2=32+4(−6)+4(42)=9−24+64=49|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = 3^2 + 4(-6) + 4(4^2) = 9 - 24 + 64 = 49
∣a⃗+2b⃗∣=49=7|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{49} = 7

3. 平行四辺形 ABCD において、$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$、$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

∣AC⃗∣2=(AB⃗+AD⃗)⋅(AB⃗+AD⃗)=∣AB⃗∣2+2AB⃗⋅AD⃗+∣AD⃗∣2|\vec{AC}|^2 = (\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AD}) = |\vec{AB}|^2 + 2 \vec{AB} \cdot \vec{AD} + |\vec{AD}|^2
∣BD⃗∣2=(AD⃗−AB⃗)⋅(AD⃗−AB⃗)=∣AD⃗∣2−2AB⃗⋅AD⃗+∣AB⃗∣2|\vec{BD}|^2 = (\vec{AD} - \vec{AB}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AB}) = |\vec{AD}|^2 - 2 \vec{AB} \cdot \vec{AD} + |\vec{AB}|^2
∣AC⃗∣2+∣BD⃗∣2=2(∣AB⃗∣2+∣AD⃗∣2)|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = 2(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2)

4. (1) $(\vec{a} + \vec{b}) // (\vec{a} - \vec{b})$ より、$\vec{a} + \vec{b} = k (\vec{a} - \vec{b})$ を満たす実数 $k$ が存在する。

(4+x,3−2)=k(4−x,3+2)(4 + x, 3 - 2) = k(4 - x, 3 + 2)
4+x=k(4−x)4 + x = k(4 - x)
1=5k1 = 5k
k=15k = \frac{1}{5}
4+x=15(4−x)4 + x = \frac{1}{5}(4 - x)
20+5x=4−x20 + 5x = 4 - x
6x=−166x = -16
x=−83x = -\frac{8}{3}
(2) (a⃗+b⃗)⊥(a⃗−b⃗)(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} - \vec{b}) より、(a⃗+b⃗)⋅(a⃗−b⃗)=0(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0
∣a⃗∣2−∣b⃗∣2=0|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0
42+32−(x2+(−2)2)=04^2 + 3^2 - (x^2 + (-2)^2) = 0
16+9−x2−4=016 + 9 - x^2 - 4 = 0
21−x2=021 - x^2 = 0
x2=21x^2 = 21
x=±21x = \pm \sqrt{21}

5. $\vec{OL} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$, $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}$, $\vec{ON} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

OL⃗+OM⃗+ON⃗=OB⃗+OC⃗2+OA⃗+OC⃗2+OA⃗+OB⃗2=OA⃗+OB⃗+OC⃗\vec{OL} + \vec{OM} + \vec{ON} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} + \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} + \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}

6. $x = 1 - 3t$ より $3t = 1 - x$ なので、$t = \frac{1 - x}{3}$

y=−2+2t=−2+2(1−x3)=−2+23−23xy = -2 + 2t = -2 + 2 (\frac{1 - x}{3}) = -2 + \frac{2}{3} - \frac{2}{3}x
y=−43−23xy = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3}x
3y=−4−2x3y = -4 - 2x
2x+3y+4=02x + 3y + 4 = 0

7. (1) $l: x - 2y + 1 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (1, -2)$

(2) l1l_1 は ll に直交するので、方向ベクトルは (1,−2)(1, -2). l1l_1 は点 P(2,−1)P(2, -1) を通るので、媒介変数表示は x=2+tx = 2 + t, y=−1−2ty = -1 - 2t.
(3) l1:x=2+tl_1: x = 2 + t, y=−1−2ty = -1 - 2t より t=x−2t = x - 2. よって y=−1−2(x−2)=−1−2x+4=−2x+3y = -1 - 2(x - 2) = -1 - 2x + 4 = -2x + 3.
l:x−2y+1=0l: x - 2y + 1 = 0 に代入して x−2(−2x+3)+1=0x - 2(-2x + 3) + 1 = 0, x+4x−6+1=0x + 4x - 6 + 1 = 0, 5x=55x = 5, x=1x = 1.
y=−2(1)+3=1y = -2(1) + 3 = 1. 交点は (1,1)(1, 1).

8. (1) $\vec{c} = s \vec{a} + t \vec{b}$ とすると $(4, 6) = s(1, 2) + t(3, 7) = (s + 3t, 2s + 7t)$.

s+3t=4s + 3t = 4, 2s+7t=62s + 7t = 6
2s+6t=82s + 6t = 8, 2s+7t=62s + 7t = 6
−t=2-t = 2, t=−2t = -2
s+3(−2)=4s + 3(-2) = 4, s=10s = 10
c⃗=10a⃗−2b⃗\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}
(2) a⃗=sb⃗+tc⃗\vec{a} = s \vec{b} + t \vec{c} とすると (1,2)=s(3,7)+t(4,6)=(3s+4t,7s+6t)(1, 2) = s(3, 7) + t(4, 6) = (3s + 4t, 7s + 6t).
3s+4t=13s + 4t = 1, 7s+6t=27s + 6t = 2
9s+12t=39s + 12t = 3, 14s+12t=414s + 12t = 4
−5s=−1-5s = -1, s=15s = \frac{1}{5}
3(15)+4t=13(\frac{1}{5}) + 4t = 1
4t=1−35=254t = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}
t=110t = \frac{1}{10}
a⃗=15b⃗+110c⃗\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}
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3. 最終的な答え**

1. (1) $\vec{x} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

(2) x⃗=12a⃗+34b⃗\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}

2. $|\vec{a} + 2\vec{b}| = 7$

3. 証明は上記参照

4. (1) $x = -\frac{8}{3}$

(2) x=±21x = \pm \sqrt{21}

5. 証明は上記参照

6. $2x + 3y + 4 = 0$

7. (1) $\vec{n} = (1, -2)$

(2) x=2+tx = 2 + t, y=−1−2ty = -1 - 2t
(3) (1,1)(1, 1)

8. (1) $\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$

(2) a⃗=15b⃗+110c⃗\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}

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