すべての実数 $x$ に対して、不等式 $kx^2 - kx + 2 > 0$ が成り立つような実数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $kx^2 - kx + 2 > 0$ が成り立つような実数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、2次不等式が常に正である条件を考える必要があります。

まず、$k=0$ の場合を考えます。このとき不等式は $2>0$ となり、常に成り立ちます。したがって、$k=0$ は条件を満たします。

次に、$k \neq 0$ の場合を考えます。$kx^2 - kx + 2 > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

(i) 2次係数 $k$ が正であること: $k > 0$

(ii) 判別式 $D$ が負であること: $D = (-k)^2 - 4(k)(2) < 0$

判別式を計算すると、

$D = k^2 - 8k < 0$

$k(k - 8) < 0$

この不等式を解くと、$0 < k < 8$ となります。

条件 (i) $k > 0$ と条件 (ii) $0 < k < 8$ を満たす $k$ の範囲は、$0 < k < 8$ です。

$k=0$ の場合も考慮すると、$0 \le k < 8$ です。

3. 最終的な答え

$0 \le k < 8$