与えられた式 $(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)$ と $(x-3)$、$(x+2)$ と $(x-4)$ をそれぞれ掛け合わせます。

$(x+1)(x-3) = x^2 -3x + x -3 = x^2 -2x -3$

$(x+2)(x-4) = x^2 -4x + 2x -8 = x^2 -2x -8$

次に、得られた2つの式を掛け合わせます。

$(x^2 -2x -3)(x^2 -2x -8) = (x^2 -2x)^2 - 11(x^2 -2x) + 24$

$x^2 -2x = y$ とおくと、

$(y -3)(y -8) = y^2 -11y + 24$

$y = x^2 -2x$ を代入すると、

$(x^2 -2x)^2 - 11(x^2 -2x) + 24 = (x^4 -4x^3 + 4x^2) - (11x^2 -22x) + 24$

$= x^4 -4x^3 -7x^2 +22x + 24$

3. 最終的な答え

$x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 22x + 24$