与えられた式を因数分解します。 $2x^2 + 7xy + 3y^2 - 7x - 11y + 6$

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解します。

$2x^2 + 7xy + 3y^2 - 7x - 11y + 6$

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、まず $x$ について整理します。

$2x^2 + (7y-7)x + (3y^2 - 11y + 6)$

次に、定数項 $3y^2 - 11y + 6$ を因数分解します。

$3y^2 - 11y + 6 = (3y - 2)(y - 3)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$2x^2 + (7y-7)x + (3y - 2)(y - 3)$

次に、全体の式を因数分解すると仮定します。

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$

定数項の分解から $(3y - 2)(y - 3)$ になることを考慮すると、式が

$(2x + y + A)(x + 3y + B)$

となる形を考えます。

$2x^2 + (7y + 2A + B)x + 3y^2 + (A + 6B)y + AB$

これにより、$x$ の項を比較すると、

$7y - 7 = 2A + B$となります。

$y$ の項を比較すると、

$-11 = A + 6B$となります。

また、定数項を比較すると、

$6 = AB$となります。

上記の3つの式を解くと、$A$ と $B$ を求めます。

連立方程式を解くために、$A$ を最初に消去します。

$A = 7 - 7y - B$

$-11 = 7 - 7y - B + 6B$

$5B = -18 + 7y +11$

$5B = -18 - A/1 +7$

$A + 6B = -11$ より、$A = -11 - 6B$

$2A + B = -7y + 7$より、$2(-11 - 6B) + B = -7 - 7y$

$-22 - 12B + B = -7y-7$

$-11B = 15 - 7 - 7y$

$11B = -15 - 7y-7 = 7y-15$

$B = \frac{7y-15}{11}$

上記を$A$ の計算式に代入すると、

$A = -7 -19$

$\frac{427}{-7}589$

係数比較から $A$ と $B$ を整数と仮定して探します。

上記とは異なる方針で、次のように因数分解することを考えます。

$2x^2 + 7xy + 3y^2 - 7x - 11y + 6 = (2x + y + a)(x + 3y + b)$

$(2x + y + a)(x + 3y + b) = 2x^2 + 6xy + 2bx + xy + 3y^2 + by + ax + 3ay + ab$

$= 2x^2 + 7xy + 3y^2 + (2b + a)x + (b + 3a)y + ab$

これにより、次の連立方程式が得られます。

$2b + a = -7$

$b + 3a = -11$

$ab = 6$

最初の二式から $a$ を消去すると $2b + a = -7$ と $b + 3a = -11$ より $3(2b + a) = -21$ すなわち $6b + 3a = -21$ です。次に $b + 3a = -11$ を引くと $5b = -10$ となり、$b = -2$ が得られます。

$ab = 6$ より、 $a = -3$

$2b + a = -4 + (-3) = -7$

$b + 3a = -2 + 3(-3) = -2 - 9 = -11$

したがって、$2x^2 + 7xy + 3y^2 - 7x - 11y + 6 = (2x + y - 3)(x + 3y - 2)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 3)(x + 3y - 2)$