与えられた式 $x^2 + 3xy + 2y^2 + 4x + 7y + 3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 3xy + 2y^2 + 4x + 7y + 3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理してみる。

$x^2 + (3y+4)x + (2y^2 + 7y + 3)$

次に、定数項 $2y^2 + 7y + 3$ を因数分解する。

$2y^2 + 7y + 3 = (2y+1)(y+3)$

したがって、与えられた式は

$x^2 + (3y+4)x + (2y+1)(y+3)$

ここで、

$x^2 + (3y+4)x + (2y+1)(y+3) = (x+2y+1)(x+y+3)$

となるかどうかを確かめる。

$(x+2y+1)(x+y+3) = x(x+y+3) + (2y+1)(x+y+3)$

$= x^2 + xy + 3x + 2yx + 2y^2 + 6y + x + y + 3$

$= x^2 + 3xy + 2y^2 + 4x + 7y + 3$

元の式と一致するので、因数分解は正しい。

3. 最終的な答え

$(x+2y+1)(x+y+3)$