## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、定数 $c$ の値を調整することで、(あ)解を持たない場合、(い)一意的でない解を持つ場合、(う)一意的な解を持つ場合をそれぞれ実現するように、$c$ の値を決定せよ。

## 解き方の手順

### (1) の場合

まず、連立方程式を書き出す。

$x - cy - 2z = 2$

$cx + 2y + z = 1$

$4x - cy - 3z = 5$

この連立方程式を行列で表現する。

$\begin{pmatrix} 1 & -c & -2 \\ c & 2 & 1 \\ 4 & -c & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

係数行列の行列式を計算する。

$D = \begin{vmatrix} 1 & -c & -2 \\ c & 2 & 1 \\ 4 & -c & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot (-3) - 1 \cdot (-c)) - (-c) \cdot (c \cdot (-3) - 1 \cdot 4) + (-2) \cdot (c \cdot (-c) - 2 \cdot 4) \\ = -6 + c + c(-3c - 4) - 2(-c^2 - 8) = -6 + c - 3c^2 - 4c + 2c^2 + 16 = -c^2 - 3c + 10$

$D = -(c^2 + 3c - 10) = -(c + 5)(c - 2)$

連立方程式が解を持たない、または一意的でない解を持つ場合、係数行列の行列式は $0$ になる。したがって、

$-(c + 5)(c - 2) = 0$

これから、$c = -5$ または $c = 2$ が得られる。

次に、$c = -5$ と $c = 2$ のそれぞれの場合について、拡大行列を調べて解の存在を調べる。

* $c = -5$ の場合:

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 & | & 2 \\ -5 & 2 & 1 & | & 1 \\ 4 & 5 & -3 & | & 5 \end{pmatrix}$

この拡大行列を簡約化すると、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -7/11 & | & 21/11 \\ 0 & 1 & -3/11 & | & 9/11 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$

解は存在するが、一意的ではない。

* $c = 2$ の場合:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & | & 2 \\ 2 & 2 & 1 & | & 1 \\ 4 & -2 & -3 & | & 5 \end{pmatrix}$

この拡大行列を簡約化すると、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/3 & | & 5/3 \\ 0 & 1 & 2/3 & | & -1/3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix}$

これは矛盾しているので、解は存在しない。

したがって、$c = 2$ のとき解は存在しない。$c = -5$ のとき、解は一意的ではない。$c \neq 2, -5$ のとき、解は一意的である。

### (2) の場合

まず、連立方程式を書き出す。

$x + y - (5 + c)z = 0$

$6x + (4 - c)y - 18z = 1$

$(1 - c)x + 3y - 18z = -1$

この連立方程式を行列で表現する。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -(5 + c) \\ 6 & 4 - c & -18 \\ 1 - c & 3 & -18 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

係数行列の行列式を計算する。

$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -(5 + c) \\ 6 & 4 - c & -18 \\ 1 - c & 3 & -18 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((4-c)(-18) - (-18)(3)) - 1 \cdot (6(-18) - (-18)(1-c)) + (-5-c)(6(3) - (4-c)(1-c))$

$= -72 + 18c + 54 - (-108 + 18 - 18c) + (-5-c)(18 - (4 - 4c - c + c^2))$

$= -18 + 18c + 90 + 18c + (-5-c)(18 - 4 + 5c - c^2) = 72 + 36c + (-5-c)(14 + 5c - c^2) = 72 + 36c -70 -25c + 5c^2 -14c - 5c^2 + c^3 = c^3 - 3c + 2 = (c - 1)^2(c + 2)$

連立方程式が解を持たない、または一意的でない解を持つ場合、係数行列の行列式は $0$ になる。したがって、

$(c - 1)^2(c + 2) = 0$

これから、$c = 1$ または $c = -2$ が得られる。

* $c = 1$ の場合:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -6 & | & 0 \\ 6 & 3 & -18 & | & 1 \\ 0 & 3 & -18 & | & -1 \end{pmatrix}$

この拡大行列を簡約化すると、

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -6 & | & 0 \\ 0 & -3 & 18 & | & 1 \\ 0 & 3 & -18 & | & -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -6 & | & 0 \\ 0 & -3 & 18 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1/3 \\ 0 & 1 & -6 & | & -1/3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$

解は存在するが、一意的ではない。

* $c = -2$ の場合:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & | & 0 \\ 6 & 6 & -18 & | & 1 \\ 3 & 3 & -18 & | & -1 \end{pmatrix}$

2行目は1行目の6倍なので、矛盾が発生し、解が存在しない。

## 最終的な答え

### (1)の場合

* 解を持たない: $c = 2$

* 一意的でない解を持つ: $c = -5$

* 一意的な解を持つ: $c \neq 2, -5$

### (2)の場合

* 解を持たない: $c = -2$

* 一意的でない解を持つ: $c = 1$

* 一意的な解を持つ: $c \neq 1, -2$