画像に写っている数学の問題を解きます。 問題は以下の通りです。 (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$ (4) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ ただし、$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ とします。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解きます。

問題は以下の通りです。

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$

(4) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

ただし、$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の逆数である $\frac{1}{x}$ を計算します。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

次に、$x + \frac{1}{x}$ と $x - \frac{1}{x}$ を計算します。

$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} + \frac{\sqrt{5} + 1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$x - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を計算します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ なので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (\sqrt{5})^2 - 2 = 5 - 2 = 3$

(3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$ を計算します。

$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x}) = (\sqrt{5})(-1) = -\sqrt{5}$

(4) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を計算します。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

よって、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = (\sqrt{5})^3 - 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

(3) $x^2 - \frac{1}{x^2} = -\sqrt{5}$

(4) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 2\sqrt{5}$