平行六面体OADB-CEGFにおいて、辺OAの中点をM、辺ADを2:3に内分する点をN、辺DGを1:2に内分する点をLとする。また、辺OCを$k:1-k$ ($0<k<1$)に内分する点をKとする。 (1) $\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$とするとき、$\vec{MN}$, $\vec{ML}$, $\vec{MK}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。 (2) 3点M, N, Kの定める平面上に点Lがあるとき、$k$の値を求めよ。

1. 問題の内容

平行六面体OADB-CEGFにおいて、辺OAの中点をM、辺ADを2:3に内分する点をN、辺DGを1:2に内分する点をLとする。また、辺OCを$k:1-k$ ($0<k<1$)に内分する点をKとする。

(1) $\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$とするとき、$\vec{MN}$, $\vec{ML}$, $\vec{MK}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

(2) 3点M, N, Kの定める平面上に点Lがあるとき、$k$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$

$\vec{ON} = \vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{AD} = \vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

$\vec{OL} = \vec{OD} + \vec{DG} + \frac{1}{3}\vec{GC} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \frac{1}{3}(-\vec{b}) = \vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \vec{c}$

$\vec{OK} = k\vec{c}$

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = (\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}) - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

$\vec{ML} = \vec{OL} - \vec{OM} = (\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \vec{c}) - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \vec{c}$

$\vec{MK} = \vec{OK} - \vec{OM} = k\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{a} + k\vec{c}$

(2)

点Lが3点M, N, Kの定める平面上にあるので、実数$s, t$を用いて、

$\vec{ML} = s\vec{MN} + t\vec{MK}$

$\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \vec{c} = s(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}) + t(-\frac{1}{2}\vec{a} + k\vec{c})$

$\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \vec{c} = (\frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t)\vec{a} + (\frac{2}{5}s)\vec{b} + (kt)\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t$

$\frac{2}{3} = \frac{2}{5}s$

$1 = kt$

$s = \frac{5}{3}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} - \frac{1}{2}t$

$\frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1}{2}t$

$\frac{1}{2}t = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t = \frac{2}{3}$

$1 = k \cdot \frac{2}{3}$

$k = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

$\vec{ML} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \vec{c}$

$\vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{a} + k\vec{c}$

(2)

$k = \frac{3}{2}$