三角形ABCにおいて、$AC=2\sqrt{3}$, $AB=5$, $\angle A = 30^\circ$のとき、$BC=a$を求めよ。

## (1)

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AC=2\sqrt{3}$, $AB=5$, $\angle A = 30^\circ$のとき、$BC=a$を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理より、

$a^2 = (2\sqrt{3})^2 + 5^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ$

$a^2 = 12 + 25 - 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 37 - 20 \cdot \frac{3}{2}$

$a^2 = 37 - 30$

$a^2 = 7$

$a>0$より、$a = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{7}$

## (2)

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=b$, $AB=3$, $AC=2\sqrt{2}$, $\angle B = 45^\circ$のとき、$b$を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理より、

$(2\sqrt{2})^2 = b^2 + 3^2 - 2 \cdot b \cdot 3 \cdot \cos 45^\circ$

$8 = b^2 + 9 - 6b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 - 3\sqrt{2}b + 1 = 0$

解の公式より、

$b = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 4}}{2} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{18 - 4}}{2} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{14}}{2}$

3. 最終的な答え

$b = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{14}}{2}$

## (3)

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AC=5$, $BC=3$, $\angle C = 120^\circ$のとき、$AB=c$を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理より、

$c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ$

$c^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$c^2 = 34 + 15$

$c^2 = 49$

$c>0$より、$c=7$

3. 最終的な答え

$c = 7$