ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$, $\vec{b} = (-1, 1)$, $\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$ とする。$|\vec{p}| = \sqrt{17}$ となるような実数 $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$, $\vec{b} = (-1, 1)$, $\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$ とする。$|\vec{p}| = \sqrt{17}$ となるような実数 $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{p}$ を成分で表します。

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b} = (2, 1) + t(-1, 1) = (2-t, 1+t)$.

次に、$|\vec{p}|^2$ を計算します。

$|\vec{p}|^2 = (2-t)^2 + (1+t)^2 = 4 - 4t + t^2 + 1 + 2t + t^2 = 2t^2 - 2t + 5$.

問題文より、$|\vec{p}| = \sqrt{17}$ なので、$|\vec{p}|^2 = 17$ です。

したがって、$2t^2 - 2t + 5 = 17$.

$2t^2 - 2t - 12 = 0$

$t^2 - t - 6 = 0$

$(t-3)(t+2) = 0$

$t=3$ または $t=-2$

3. 最終的な答え

$t = 3, -2$