三角形ABCがあり、辺BC上に点Hがある。AHはBCに対する垂線である。AH上に点Pを取り、PBとPCを引く。影をつけた部分(三角形ABPとACPの面積の合計)の面積を、PHの長さを $h$ cmとおいて求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺BC上に点Hがある。AHはBCに対する垂線である。AH上に点Pを取り、PBとPCを引く。影をつけた部分(三角形ABPとACPの面積の合計)の面積を、PHの長さを $h$ cmとおいて求める。

2. 解き方の手順

たくみさんの解き方から、三角形ABCの面積は$\frac{1}{2} \times 800 \times (200 + 253) = 181200$ (cm$^2$)、三角形PBCの面積は、$\frac{1}{2} \times 800 \times 253 = 101200$ (cm$^2$)であることがわかっている。影をつけた部分の面積は、 $181200 - 101200 = 80000$ (cm$^2$)と既に計算されている。

あきこさんの解き方では、PHの長さを $h$ cmとおく。AHの長さは、$200 + 253 = 453$ cmである。

したがって、APの長さは、$(453 - h)$ cmとなる。

三角形ABPの面積は、 $\frac{1}{2} \times 800 \times (453 - h) \times \frac{200}{453} = \frac{800 \times 200}{2 \times 453} \times (453 - h)$ cm$^2$

三角形ACPの面積は、$\frac{1}{2} \times 800 \times (453 - h) \times \frac{253}{453} = \frac{800 \times 253}{2 \times 453} \times (453 - h)$ cm$^2$

影をつけた部分の面積は、三角形ABPの面積と三角形ACPの面積の和なので、

$\frac{800}{2} \times (453 - h)$cm$^2$

$= 400 \times \frac{200+253}{453} \times (453-h) = 400(453 - h)$

三角形ABCの面積は、 $1/2 \times 800 \times 453 = 181200$ cm$^2$

三角形PBCの面積は、 $1/2 \times 800 \times 253 = 101200$ cm$^2$

影をつけた部分の面積は、三角形ABCの面積 - 三角形PBCの面積である。

$\frac{1}{2} \times 800 \times 453 - \frac{1}{2} \times 800 \times 253 = \frac{1}{2} \times 800 \times (453 - 253) = \frac{1}{2} \times 800 \times 200 = 80000$ cm$^2$

$400(453 - h) = \frac{1}{2} \times (800 \times 200) = 80000$

$453 - h = \frac{80000}{400} = 200$

$h = 453 - 200 = 253$ cm

APの高さは、453 - hとなる。

三角形ABPの面積は、 $\frac{1}{2} \times 800 \times AP \times \frac{200}{453}$

三角形ACPの面積は、 $\frac{1}{2} \times 800 \times AP \times \frac{253}{453}$

全体の面積は、 $\frac{1}{2} \times 800 \times AP$

$\frac{1}{2} \times 800 \times AP = 80000$

$AP = 200$

$AH = 453$

$PH = 453 - AP = 453 - 200 = 253$

3. 最終的な答え

線分PHの長さを $h$ cmとすると、APの長さは $(453 - h)$ cmである。

影をつけた部分の面積は、

$\frac{1}{2} \times 800 \times (453 - h) = 80000$

これを解くと、

$400 \times (453 - h) = 80000$

$453 - h = 200$

$h = 253$

したがって、影をつけた部分の面積は $80000 cm^2$