一辺の長さが $a$ である正三角形に外接する円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ である正三角形に外接する円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

正三角形の外接円の中心は、正三角形の重心、外心、内心が一致する点です。

正三角形の頂点から対辺の中点に下ろした垂線（中線）は、その正三角形の高さであり、外接円の中心はその中線を $2:1$ に内分します。

したがって、外接円の半径は、正三角形の高さの $2/3$ に等しくなります。

まず、正三角形の高さを計算します。正三角形の一つの頂点から対辺に垂線を下ろすと、底辺は二等分され、直角三角形ができます。ピタゴラスの定理より、

$高さ^2 + (a/2)^2 = a^2$

$高さ^2 = a^2 - (a^2/4)$

$高さ^2 = (3a^2)/4$

$高さ = \sqrt{(3a^2)/4} = (a\sqrt{3})/2$

外接円の半径 $R$ は高さの $2/3$ なので、

$R = (2/3) \times (a\sqrt{3})/2 = (a\sqrt{3})/3 = a/\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

正三角形に外接する円の半径は $a/\sqrt{3}$ 、または $\frac{\sqrt{3}a}{3}$ です。