直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=$3\sqrt{3}$、AD=$3\sqrt{5}$、AE=$\sqrt{5}$である。 (1) cos∠AFHの値を求めよ。 (2) △AFHの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=$3\sqrt{3}$、AD=$3\sqrt{5}$、AE=$\sqrt{5}$である。

(1) cos∠AFHの値を求めよ。

(2) △AFHの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) cos∠AFHの値を求める。

まず、AF, AH, FHの長さを求める。

$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{27 + 5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

$AH = \sqrt{AD^2 + DH^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{45 + 5} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$FH = \sqrt{FG^2 + GH^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{5})^2} = \sqrt{27 + 45} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

次に、余弦定理を用いてcos∠AFHを求める。

$cos∠AFH = \frac{AF^2 + FH^2 - AH^2}{2 \cdot AF \cdot FH} = \frac{(4\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{2})^2}{2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{32 + 72 - 50}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{54}{96} = \frac{9}{16}$

(2) △AFHの面積Sを求める。

$sin^2∠AFH + cos^2∠AFH = 1$より、

$sin^2∠AFH = 1 - cos^2∠AFH = 1 - (\frac{9}{16})^2 = 1 - \frac{81}{256} = \frac{256 - 81}{256} = \frac{175}{256}$

$sin∠AFH = \sqrt{\frac{175}{256}} = \frac{\sqrt{175}}{16} = \frac{5\sqrt{7}}{16}$ (sin∠AFH > 0)

三角形の面積の公式より、

$S = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot FH \cdot sin∠AFH = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{5\sqrt{7}}{16} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{5\sqrt{7}}{16} = \frac{48 \cdot 5\sqrt{7}}{32} = \frac{3 \cdot 5\sqrt{7}}{2} = \frac{15\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos∠AFH = \frac{9}{16}$

(2) △AFHの面積S = $\frac{15\sqrt{7}}{2}$