母線の長さが9cm、底面の円の半径が4cmの円錐の展開図における扇形の中心角を求める。

## 問題8：円錐の展開図の中心角

1. 問題の内容

母線の長さが9cm、底面の円の半径が4cmの円錐の展開図における扇形の中心角を求める。

2. 解き方の手順

円錐の展開図において、扇形の弧の長さは底面の円周と等しくなります。

* 底面の円周を求める。

* 扇形の弧の長さと中心角の関係を使って、中心角を求める。

まず、底面の円周を計算します。半径 $r$ が4cmなので、円周の長さは $2\pi r$ で求められます。

$2 \pi r = 2 \pi (4) = 8 \pi$

次に、扇形の弧の長さと中心角の関係を使います。扇形の半径（母線の長さ）を $R$ 、中心角を $\theta$ (ラジアン) とすると、弧の長さは $R \theta$ で表されます。

扇形の弧の長さは底面の円周と等しいので、$R \theta = 8 \pi$ となります。

$R = 9$ cmなので、以下の式が成り立ちます。

$9 \theta = 8 \pi$

$\theta = \frac{8 \pi}{9}$

中心角を度数法に変換します。$\pi$ ラジアンは180度なので、以下のようになります。

$\theta = \frac{8 \pi}{9} \times \frac{180}{\pi} = \frac{8 \times 180}{9} = 8 \times 20 = 160$ 度

3. 最終的な答え

160度

## 問題10：円柱の表面積

1. 問題の内容

高さが8cm、底面の半径が3cmの円柱の表面積を求める。

2. 解き方の手順

円柱の表面積は、2つの底面の円の面積と、側面の長方形の面積の合計です。

* 底面の円の面積を求める。

* 側面の長方形の面積を求める。

* それぞれの面積を足し合わせる。

底面の円の半径 $r$ は3cmなので、円の面積は $\pi r^2$ で求められます。

$\pi r^2 = \pi (3)^2 = 9\pi$

円は2つあるので、底面の合計面積は $2 \times 9\pi = 18\pi$ cm$^2$

次に、側面の長方形の面積を計算します。長方形の高さは円柱の高さと同じで8cmです。長方形の幅は底面の円周と同じなので、$2\pi r = 2\pi(3) = 6\pi$ cmです。

したがって、側面の面積は $8 \times 6\pi = 48\pi$ cm$^2$

円柱の表面積は、底面の面積と側面の面積の合計なので、 $18\pi + 48\pi = 66\pi$ cm$^2$

3. 最終的な答え

$66\pi$ cm$^2$