点Qが円 $(x-6)^2 + y^2 = 9$ 上を動くとき、原点Oと点Qを結ぶ線分OQを2:1に内分する点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点Qが円 $(x-6)^2 + y^2 = 9$ 上を動くとき、原点Oと点Qを結ぶ線分OQを2:1に内分する点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を$(x, y)$、点Qの座標を$(X, Y)$とする。

点Pは線分OQを2:1に内分するので、内分点の公式より、

$$x = \frac{2X + 1 \cdot 0}{2+1} = \frac{2X}{3}$$

$$y = \frac{2Y + 1 \cdot 0}{2+1} = \frac{2Y}{3}$$

したがって、

$$X = \frac{3}{2}x$$

$$Y = \frac{3}{2}y$$

点Qは円 $(x-6)^2 + y^2 = 9$ 上の点なので、$(X, Y)$ は円の式を満たす。

したがって、

$$(\frac{3}{2}x - 6)^2 + (\frac{3}{2}y)^2 = 9$$

$$(\frac{3}{2}(x - 4))^2 + (\frac{3}{2}y)^2 = 9$$

$$\frac{9}{4}(x - 4)^2 + \frac{9}{4}y^2 = 9$$

両辺を $\frac{9}{4}$ で割ると、

$$(x - 4)^2 + y^2 = 4$$

3. 最終的な答え

求める軌跡は、中心 $(4, 0)$、半径 $2$ の円である。

$$(x - 4)^2 + y^2 = 4$$