図のように、線分OA, OB, ABをそれぞれ直径とする３つの半円からなる図形がある。影をつけた部分の面積は、線分OA, OBを直径とする２つの半円の面積の和と等しいことを証明する。ただし、OA = OB = aとする。

1. 問題の内容

図のように、線分OA, OB, ABをそれぞれ直径とする３つの半円からなる図形がある。影をつけた部分の面積は、線分OA, OBを直径とする２つの半円の面積の和と等しいことを証明する。ただし、OA = OB = aとする。

2. 解き方の手順

影をつけた部分の面積をSとする。

ABを直径とする半円の面積を$S_1$、OAを直径とする半円の面積を$S_2$、OBを直径とする半円の面積を$S_3$とする。

影をつけた部分の面積Sは、

$S = S_1 - S_2 - S_3$

で表される。

ABの長さは、

$AB = OA + OB = a + a = 2a$

である。

$S_1$は、半径aの半円なので、

$S_1 = \frac{1}{2} \pi a^2$

$S_2$は、半径$\frac{a}{2}$の半円なので、

$S_2 = \frac{1}{2} \pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{1}{8} \pi a^2$

$S_3$は、$S_2$と同じ面積なので、

$S_3 = \frac{1}{8} \pi a^2$

したがって、

$S = S_1 - S_2 - S_3 = \frac{1}{2} \pi a^2 - \frac{1}{8} \pi a^2 - \frac{1}{8} \pi a^2 = (\frac{1}{2} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8}) \pi a^2 = (\frac{4}{8} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8}) \pi a^2 = \frac{2}{8} \pi a^2 = \frac{1}{4} \pi a^2$

次に、OAを直径とする半円の面積$S_2$とOBを直径とする半円の面積$S_3$の和を求める。

$S_2 + S_3 = \frac{1}{8} \pi a^2 + \frac{1}{8} \pi a^2 = \frac{2}{8} \pi a^2 = \frac{1}{4} \pi a^2$

したがって、影をつけた部分の面積Sは、OAを直径とする半円の面積$S_2$とOBを直径とする半円の面積$S_3$の和に等しい。

3. 最終的な答え

影をつけた部分の面積は、OA, OBを直径とする2つの半円の面積の和と等しい。