円 $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 = 0$ と直線 $x + 2y - 5 = 0$ の2つの交点と点 $(3, 2)$ を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 = 0$ と直線 $x + 2y - 5 = 0$ の2つの交点と点 $(3, 2)$ を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた円の方程式を $f(x, y) = 0$、直線の方程式を $g(x, y) = 0$ とすると、2つの交点を通る円の方程式は

$f(x, y) + k g(x, y) = 0$

と表せます。ここで、$k$ は定数です。

この問題では、

$f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3$

$g(x, y) = x + 2y - 5$

なので、2つの交点を通る円の方程式は

$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 + k(x + 2y - 5) = 0$

と表せます。

この円が点 $(3, 2)$ を通るので、$x = 3$, $y = 2$ を代入すると

$3^2 + 2^2 - 2(3) - 4(2) - 3 + k(3 + 2(2) - 5) = 0$

$9 + 4 - 6 - 8 - 3 + k(3 + 4 - 5) = 0$

$-4 + 2k = 0$

$2k = 4$

$k = 2$

したがって、求める円の方程式は

$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 + 2(x + 2y - 5) = 0$

$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 + 2x + 4y - 10 = 0$

$x^2 + y^2 - 13 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 = 13$