$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $D$, 辺 $BC$ を $3:1$ に内分する点を $E$ とし、線分 $CD$ の中点を $F$ とする。このとき、3点 $A, F, E$ が一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $D$, 辺 $BC$ を $3:1$ に内分する点を $E$ とし、線分 $CD$ の中点を $F$ とする。このとき、3点 $A, F, E$ が一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$ とする。ただし、$O$ は任意の点である。

点 $D$ は辺 $AB$ を $1:2$ に内分するので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{1+2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

点 $E$ は辺 $BC$ を $3:1$ に内分するので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{\vec{b} + 3\vec{c}}{3+1} = \frac{\vec{b} + 3\vec{c}}{4}$

点 $F$ は線分 $CD$ の中点なので、

$\overrightarrow{OF} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2} = \frac{\vec{c} + \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}}{2} = \frac{3\vec{c} + 2\vec{a} + \vec{b}}{6} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c}}{6}$

$A, F, E$ が一直線上にあるためには、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AF}$ と表せる必要がある。

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OA} = \frac{\vec{b} + 3\vec{c}}{4} - \vec{a} = -\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{c}$

$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c}}{6} - \vec{a} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c} - 6\vec{a}}{6} = \frac{-4\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c}}{6}$

$\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AF}$ より、

$-\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{c} = k \frac{-4\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c}}{6}$

$-6\vec{a} + \frac{6}{4}\vec{b} + \frac{18}{4}\vec{c} = k(-4\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c})$

$-6\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b} + \frac{9}{2}\vec{c} = -4k\vec{a} + k\vec{b} + 3k\vec{c}$

係数を比較して、

$-6 = -4k$

$\frac{3}{2} = k$

$\frac{9}{2} = 3k$

これらを満たす $k$ は $k = \frac{3}{2}$ である。

$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AF}$ が成り立つので、$A, F, E$ は一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点 $A, F, E$ は一直線上にある。