右図において、以下の値を求める問題です。 (1) AD, CD, BD の長さ (2) AB の長さ (3) ∠B の大きさ (4) sin 15°, cos 15° の値

1. 問題の内容

右図において、以下の値を求める問題です。

(1) AD, CD, BD の長さ

(2) AB の長さ

(3) ∠B の大きさ

(4) sin 15°, cos 15° の値

2. 解き方の手順

(1) AD, CD, BDの長さを求める。

△ADC は直角三角形なので、∠DAC = $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$

よって、△ADC において、$CD = AC \tan 60^{\circ} = 3 \tan 60^{\circ} = 3 \sqrt{3}$

$AD = \frac{AC}{\cos 60^{\circ}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$

また、AD = BD より、BD = 6

(2) AB の長さを求める。

∠ADB = $180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$

△ABD は AD = BD の二等辺三角形なので、∠B = ∠BAD = $(180^{\circ} - 150^{\circ})/2 = 15^{\circ}$

△ABC において、

$\tan B = \tan 15^{\circ} = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{6 + 3\sqrt{3}}$

$AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AC}{\sin 15^{\circ}}$ となる。

ここで、$BC = BD + DC = 6 + 3\sqrt{3}$

三平方の定理より、

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + (6 + 3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 36 + 36\sqrt{3} + 27} = \sqrt{72 + 36\sqrt{3}} = \sqrt{36(2 + \sqrt{3})} = 6\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

(3) ∠B の大きさを求める。

上記(2)より、∠B = 15°

(4) sin 15°, cos 15° の値を求める。

半角の公式を利用する。

$\sin^2 (\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - \cos \theta}{2}$

$\cos^2 (\frac{\theta}{2}) = \frac{1 + \cos \theta}{2}$

$\sin 15^{\circ} = \sin (\frac{30^{\circ}}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^{\circ}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\cos 15^{\circ} = \cos (\frac{30^{\circ}}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^{\circ}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) AD = 6, CD = $3\sqrt{3}$, BD = 6

(2) AB = $6\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

(3) ∠B = 15°

(4) $\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$, $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$