右図において、$x$ と $y$ の値を求めよ。図には、底辺の長さが $2$、底角が $30^\circ$ と $45^\circ$ である三角形が描かれている。$x$ は $45^\circ$ の角に対応する辺の長さ、$y$ は $30^\circ$ の角に対応する辺の長さを表している。また、$45^\circ$の角に対応する頂点では直角になっている。

1. 問題の内容

右図において、$x$ と $y$ の値を求めよ。図には、底辺の長さが $2$、底角が $30^\circ$ と $45^\circ$ である三角形が描かれている。$x$ は $45^\circ$ の角に対応する辺の長さ、$y$ は $30^\circ$ の角に対応する辺の長さを表している。また、$45^\circ$の角に対応する頂点では直角になっている。

2. 解き方の手順

まず、$45^\circ$ の角を持つ直角三角形に注目する。この三角形は直角二等辺三角形であるから、底辺の長さが $2$ の場合、高さも $2$ となる。したがって、$x$ は斜辺の長さに相当し、ピタゴラスの定理より、

$x^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

次に、$y$ を求めるために正弦定理を用いる。三角形の残りの角は、$180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ である。正弦定理より、

$\frac{y}{\sin 45^\circ} = \frac{x}{\sin 105^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$x = 2\sqrt{2}$ であるから、

$\frac{y}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin 105^\circ}$

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

したがって、

$y = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{8}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

$y = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$x = 2\sqrt{2}$

$y = 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$