$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ のとき、以下の問いに答える。 (1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。 (2) $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が垂直になるように、実数 $t$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ のとき、以下の問いに答える。

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

(2) $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が垂直になるように、実数 $t$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を計算し、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

与えられた条件より、

$(\sqrt{7})^2 = 1^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + (\sqrt{3})^2$

$7 = 1 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 3 - 7 = -3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{3}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ より、

$-\frac{3}{2} = 1 \cdot \sqrt{3} \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\theta = \frac{5\pi}{6}$.

(2) $(\vec{a} + t\vec{b}) \perp (\vec{a} - \vec{b})$ であるから、$(\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$。

$(\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} + t\vec{b} \cdot \vec{a} - t|\vec{b}|^2 = 0$

$1 - \vec{a} \cdot \vec{b} + t\vec{a} \cdot \vec{b} - 3t = 0$

$1 + (t-1)\vec{a} \cdot \vec{b} - 3t = 0$

$1 + (t-1)(-\frac{3}{2}) - 3t = 0$

$1 - \frac{3}{2}t + \frac{3}{2} - 3t = 0$

$2 - 3t + 3 - 6t = 0$

$5 - 9t = 0$

$9t = 5$

$t = \frac{5}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{5\pi}{6}$

(2) $t = \frac{5}{9}$