$\triangle OAB$ に対して、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とおく。実数 $s, t$ が以下の条件を満たしながら変化するとき、点 $P$ の存在する範囲を求める。 (1) $s \geq 0$, $t \geq 0$, $s+t = \frac{2}{3}$ (2) $s \geq 0$, $t \geq 0$, $2s+t = 1$

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ に対して、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とおく。実数 $s, t$ が以下の条件を満たしながら変化するとき、点 $P$ の存在する範囲を求める。

(1) $s \geq 0$, $t \geq 0$, $s+t = \frac{2}{3}$

(2) $s \geq 0$, $t \geq 0$, $2s+t = 1$

2. 解き方の手順

(1) $s+t = \frac{2}{3}$ より、$s = \frac{2}{3}s'$, $t = \frac{2}{3}t'$ とおくと、$s' + t' = 1$。

このとき、$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{3}s'\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}t'\overrightarrow{OB} = s'(\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}) + t'(\frac{2}{3}\overrightarrow{OB})$

$s' \geq 0$, $t' \geq 0$, $s'+t'=1$ より、点 $P$ は線分 $O'B'$ 上に存在する。ここで、$O' = \frac{2}{3}A$、$B' = \frac{2}{3}B$ である。

よって、線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $C$, 線分 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とすると、$CD$ が点 $P$ の存在する範囲である。

(2) $2s + t = 1$ より、$s = \frac{1}{2}s'$, $t = t'$ とおくと、$s' + t' = 1$。

このとき、$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}s'\overrightarrow{OA} + t'\overrightarrow{OB} = s'(\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}) + t'\overrightarrow{OB}$

$s' \geq 0$, $t' \geq 0$, $s'+t'=1$ より、点 $P$ は線分 $OE$ 上に存在する。ここで、$E = \frac{1}{2}A$ である。

よって、点 $P$ は線分 $OE$ 上に存在する。ここで、$E$ は線分 $OA$ の中点である。

3. 最終的な答え

(1) 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $C$, 線分 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とすると、線分 $CD$ 上。

(2) 線分 $OA$ の中点を $E$ とすると、線分 $BE$ 上。