半径 $r$ m、中心角90°のおうぎ形の花壇の弧にそって、幅 $x$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通るおうぎ形の弧の長さを $l$ mとするとき、$S = xl$ であることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ m、中心角90°のおうぎ形の花壇の弧にそって、幅 $x$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通るおうぎ形の弧の長さを $l$ mとするとき、$S = xl$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。

大きいおうぎ形の半径は $r + x$ mである。

大きいおうぎ形の面積は、

$\frac{1}{4}\pi (r+x)^2$

小さいおうぎ形の面積は、

$\frac{1}{4}\pi r^2$

したがって、道の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{4}\pi (r+x)^2 - \frac{1}{4}\pi r^2$

$S = \frac{1}{4}\pi ((r+x)^2 - r^2)$

$S = \frac{1}{4}\pi (r^2 + 2rx + x^2 - r^2)$

$S = \frac{1}{4}\pi (2rx + x^2)$

次に、道の中央を通るおうぎ形の弧の長さ $l$ を求める。

道の中央を通るおうぎ形の半径は $r + \frac{x}{2}$ mである。

したがって、弧の長さ $l$ は、

$l = \frac{90}{360} \times 2\pi (r + \frac{x}{2})$

$l = \frac{1}{4} \times 2\pi (r + \frac{x}{2})$

$l = \frac{1}{2} \pi (r + \frac{x}{2})$

$l = \frac{1}{2} \pi r + \frac{1}{4} \pi x$

ここで、$xl$ を計算すると、

$xl = x(\frac{1}{2} \pi r + \frac{1}{4} \pi x)$

$xl = \frac{1}{2} \pi rx + \frac{1}{4} \pi x^2$

$xl = \frac{1}{4} \pi (2rx + x^2)$

したがって、$S = xl$ である。

3. 最終的な答え

$S = \frac{1}{4}\pi (2rx + x^2)$

$xl = \frac{1}{4} \pi (2rx + x^2)$

ゆえに、$S = xl$ である。