直角三角形ABCにおいて、以下のベクトルの内積をそれぞれ求めます。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (2) $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ (3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}$ (4) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA}$

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、以下のベクトルの内積をそれぞれ求めます。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

(2) $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$

(3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}$

(4) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA}$

2. 解き方の手順

ベクトルの内積は、ベクトルの大きさと、ベクトルがなす角のcosを用いて計算できます。すなわち、ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積は、

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos{\theta}$

で表されます。ここで、$\theta$はベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角です。

図から各辺の長さがわかります。

$AB = 2\sqrt{3}$, $BC = 2$, $AC = 4$

また、$\angle BAC = 30^\circ$, $\angle ABC = 90^\circ$, $\angle ACB = 60^\circ$です。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| |AC| \cos{\angle BAC} = 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos{30^\circ} = 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12$

(2) $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |BA| |BC| \cos{\angle ABC} = 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos{90^\circ} = 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot 0 = 0$

(3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = |BC| |CA| \cos{\angle BCA} = 2 \cdot 4 \cdot \cos{180^\circ - 60^\circ} = 8 \cdot \cos{120^\circ} = 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$

(4) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA} = |AC| |BA| \cos{(\pi - \angle BAC)} = |AC| |BA| \cos{150^\circ} = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -12$

3. 最終的な答え

(1) 12

(2) 0

(3) -4

(4) -12