与えられた3つのベクトル $\vec{a}=(4,2)$, $\vec{b}=(-3,5)$, $\vec{c}=(5,9)$ について、以下の4つの問題を解く。 (1) ベクトル $\vec{a}$ の大きさを求める。 (2) ベクトル $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトル $\vec{e}$ を成分表示する。 (3) ベクトル $-3(\vec{a}-\vec{b})+2\vec{a}-4\vec{b}$ を成分表示し、その大きさを求める。 (4) $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ となるような実数 $s, t$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた3つのベクトル $\vec{a}=(4,2)$, $\vec{b}=(-3,5)$, $\vec{c}=(5,9)$ について、以下の4つの問題を解く。

(1) ベクトル $\vec{a}$ の大きさを求める。

(2) ベクトル $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトル $\vec{e}$ を成分表示する。

(3) ベクトル $-3(\vec{a}-\vec{b})+2\vec{a}-4\vec{b}$ を成分表示し、その大きさを求める。

(4) $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ となるような実数 $s, t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\vec{a}$ の大きさ $|\vec{a}|$ は、各成分の二乗の和の平方根で求められる。

$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 2^2}$

(2) ベクトル $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトル $\vec{e}$ は、$\vec{a}$ をその大きさ $|\vec{a}|$ で割ることで求められる。

$\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

(3) ベクトル $-3(\vec{a}-\vec{b})+2\vec{a}-4\vec{b}$ を整理し、成分を計算する。

$-3(\vec{a}-\vec{b})+2\vec{a}-4\vec{b} = -3\vec{a} + 3\vec{b} + 2\vec{a} - 4\vec{b} = -\vec{a} - \vec{b}$

成分は $(-\vec{a} - \vec{b}) = (-4-(-3), -2-5) = (-1, -7)$

ベクトルの大きさは $\sqrt{(-1)^2 + (-7)^2}$

(4) $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ より、成分表示すると

$(5, 9) = s(4, 2) + t(-3, 5) = (4s-3t, 2s+5t)$

よって、以下の連立方程式を解く。

$4s - 3t = 5$

$2s + 5t = 9$

2番目の式を2倍すると $4s + 10t = 18$.

1番目の式から引くと $-13t = -13$. よって $t = 1$.

これを2番目の式に代入すると $2s + 5(1) = 9$, よって $2s = 4$ であり $s = 2$.

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(2) $\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{(4, 2)}{2\sqrt{5}} = (\frac{4}{2\sqrt{5}}, \frac{2}{2\sqrt{5}}) = (\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}) = (\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$

(3) $-\vec{a} - \vec{b} = (-1, -7)$

大きさは $\sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(4) $s = 2, t = 1$