三角形 ABC において、$AB = 2$, $AC = 3$, 面積が $2\sqrt{2}$ である。角 A は鈍角である。三角形 ABC の重心を H とするとき、ベクトル $\vec{AH}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ で表す問題。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、$AB = 2$, $AC = 3$, 面積が $2\sqrt{2}$ である。角 A は鈍角である。三角形 ABC の重心を H とするとき、ベクトル $\vec{AH}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ で表す問題。

2. 解き方の手順

重心 H は、三角形 ABC の頂点 A, B, C の位置ベクトルの平均である。すなわち、

$\vec{AH} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{3}$

しかし、問題文をよく読むと、面積が与えられていることから角Aのsinの値がわかり、cosAの値もわかり、それを用いて内積を求めることができることがわかります。面積からcosAを求め、その値とAB,ACを用いて、AGベクトルの大きさを求めることができます。しかし、ここでは、重心の位置ベクトルを求める問題なので、公式を適用するだけで答えられます。

重心の公式は以下の通りです。

$\vec{AH} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{3}$

$\vec{AB}$ の係数は 1, $\vec{AC}$ の係数は 1、分母は 3 となります。

3. 最終的な答え

$\vec{AH} = \frac{1\vec{AB} + 1\vec{AC}}{3}$