ベクトル $\vec{a} = (2, 5)$, $\vec{b} = (1, 2)$, $\vec{c} = (3, 1)$ が与えられているとき、以下の問いに答えます。 (1) $\vec{b}$ と平行で、大きさが $\sqrt{10}$ であるベクトル $\vec{p}$ を成分表示します。 (2) $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{c}$ が平行となるように、実数 $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 5)$, $\vec{b} = (1, 2)$, $\vec{c} = (3, 1)$ が与えられているとき、以下の問いに答えます。

(1) $\vec{b}$ と平行で、大きさが $\sqrt{10}$ であるベクトル $\vec{p}$ を成分表示します。

(2) $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{c}$ が平行となるように、実数 $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{b}$ と平行なベクトル $\vec{p}$ は、実数 $k$ を用いて $\vec{p} = k\vec{b} = (k, 2k)$ と表せます。

$\vec{p}$ の大きさは $\sqrt{10}$ なので、

$\|\vec{p}\| = \sqrt{k^2 + (2k)^2} = \sqrt{5k^2} = |k|\sqrt{5} = \sqrt{10}$

$|k| = \sqrt{2}$ より $k = \pm\sqrt{2}$

したがって、$\vec{p} = (\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ または $\vec{p} = (-\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ です。

(2) $\vec{a} + t\vec{b} = (2, 5) + t(1, 2) = (2+t, 5+2t)$ です。

$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{c}$ が平行なので、実数 $s$ を用いて $\vec{a} + t\vec{b} = s\vec{c}$ と表せます。

つまり、$(2+t, 5+2t) = s(3, 1) = (3s, s)$ です。

よって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$2 + t = 3s$

$5 + 2t = s$

2番目の式を3倍すると $15 + 6t = 3s$ となり、これに1番目の式を代入して

$15 + 6t = 2 + t$

$5t = -13$

$t = -\frac{13}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = (\sqrt{2}, 2\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$

(2) $t = -\frac{13}{5}$