1000m離れた2点A, Bから山頂Cを見るとき、$\angle CAB = 75^\circ$, $\angle CBA = 60^\circ$ であり、地点Aから山頂Cを見上げる角が45°である。山の高さCHを求めよ。ただしHは山頂Cから地面に下ろした垂線の足とする。

1. 問題の内容

1000m離れた2点A, Bから山頂Cを見るとき、$\angle CAB = 75^\circ$, $\angle CBA = 60^\circ$ であり、地点Aから山頂Cを見上げる角が45°である。山の高さCHを求めよ。ただしHは山頂Cから地面に下ろした垂線の足とする。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$において、$\angle ACB$を求める。

$\angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle CBA = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

次に、正弦定理を用いてBCの長さを求める。

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle CAB}$

$\frac{1000}{\sin 45^\circ} = \frac{BC}{\sin 75^\circ}$

$BC = \frac{1000 \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1000 (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1000 (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}) \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 1000(\frac{\sqrt{3}+1}{2})$

次に、直角三角形BCHにおいて、$\angle CBH = 60^\circ$であるから、

$CH = BC \sin 60^\circ = 1000(\frac{\sqrt{3}+1}{2}) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1000 (\frac{3+\sqrt{3}}{4}) = 250(3+\sqrt{3})$

ここで、地点Aから山頂Cを見上げる角が45°という条件を用いると、$\triangle ACH$は直角二等辺三角形であるため、$CH = AH$となる。よって$\angle CAH = 45^\circ$となる。

$\angle CAB = 75^\circ$なので$\angle BAH = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$。

三角形$\triangle ABC$において、正弦定理を用いる。

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{AC}{\sin \angle CBA}$

$\frac{1000}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}$

$AC = \frac{1000 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1000 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 500\sqrt{6}$

$\triangle ACH$は直角二等辺三角形より、$CH = AC \sin 45^\circ = 500 \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 500\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$500\sqrt{3}$ m