直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=$2\sqrt{2}$, AD=$\sqrt{3}$, AE=1であるとき、 (1) $\triangle$ACFの面積を求めなさい。 (2)点Bから$\triangle$ACFにおろした垂線BHの長さを求めなさい。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=$2\sqrt{2}$, AD=$\sqrt{3}$, AE=1であるとき、

(1) $\triangle$ACFの面積を求めなさい。

(2)点Bから$\triangle$ACFにおろした垂線BHの長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle$ACFの面積を求める。

まず、AC, CF, FAの長さをそれぞれ求める。

直角三角形ADCにおいて、

$AC^2 = AD^2 + DC^2 = (\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 3 + 8 = 11$

$AC = \sqrt{11}$

直角三角形CFGにおいて、

$CF^2 = CG^2 + GF^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$

$CF = 3$

直角三角形AEFにおいて、

$AF^2 = AE^2 + EF^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$AF = 2$

$\triangle$ACFにおいて、AC = $\sqrt{11}$, CF = 3, AF = 2である。

ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{\sqrt{11} + 3 + 2}{2} = \frac{5 + \sqrt{11}}{2}$

$\triangle$ACFの面積をSとすると、

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{11}}{2}(\frac{5 + \sqrt{11}}{2} - \sqrt{11})(\frac{5 + \sqrt{11}}{2} - 3)(\frac{5 + \sqrt{11}}{2} - 2)}$

$S = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{11}}{2}(\frac{5 - \sqrt{11}}{2})(\frac{\sqrt{11} - 1}{2})(\frac{\sqrt{11} + 1}{2})}$

$S = \sqrt{\frac{25 - 11}{4} \cdot \frac{11 - 1}{4}} = \sqrt{\frac{14}{4} \cdot \frac{10}{4}} = \sqrt{\frac{140}{16}} = \sqrt{\frac{35}{4}} = \frac{\sqrt{35}}{2}$

(2) 点Bから$\triangle$ACFにおろした垂線BHの長さを求める。

直方体ABCD-EFGHの体積Vは、$V = AB \cdot AD \cdot AE = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{6}$

また、四面体BACFの体積は、$\frac{1}{6}$直方体の体積に等しい。

四面体BACFの体積 = $\frac{1}{3} \cdot \triangle ACF \cdot BH$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{35}}{2} \cdot BH = \frac{1}{6} V = \frac{1}{6} \cdot 2\sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\frac{\sqrt{35}}{6} \cdot BH = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$BH = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{35}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{35}} = \frac{2\sqrt{210}}{35}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{35}}{2}$

(2) $\frac{2\sqrt{210}}{35}$