問題3: $\theta$ が第3象限の角で、$\cos\theta = -\frac{1}{5}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。 問題4: $\theta$ が第3象限の角で、$\tan\theta = 3$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題3: $\theta$ が第3象限の角で、$\cos\theta = -\frac{1}{5}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

問題4: $\theta$ が第3象限の角で、$\tan\theta = 3$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題3:

まず、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ という関係式を利用して、$\sin\theta$ の値を求める。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (-\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{24}{25}} = \pm\frac{\sqrt{24}}{5} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\theta$ が第3象限の角であるから、$\sin\theta < 0$ なので、$\sin\theta = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の関係式を利用して、$\tan\theta$ の値を求める。

$\tan\theta = \frac{-\frac{2\sqrt{6}}{5}}{-\frac{1}{5}} = \frac{-2\sqrt{6}}{-1} = 2\sqrt{6}$

問題4:

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 3$ であるから、$\sin\theta = 3\cos\theta$

また、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の関係式を利用する。

$(3\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$

$9\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$10\cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = \frac{1}{10}$

$\cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$

$\theta$ が第3象限の角であるから、$\cos\theta < 0$ なので、$\cos\theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

$\sin\theta = 3\cos\theta = 3(-\frac{\sqrt{10}}{10}) = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

問題3:

$\sin\theta = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\tan\theta = 2\sqrt{6}$

問題4:

$\sin\theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$