正六角形ABCDEFにおいて、中心をO、辺DEの中点をMとする。$\vec{AB} = \vec{a}$、$\vec{AF} = \vec{b}$とするとき、以下のベクトルを$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。 (1) $\vec{FE}$ (2) $\vec{BD}$ (3) $\vec{DA}$ (4) $\vec{CM}$

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、中心をO、辺DEの中点をMとする。$\vec{AB} = \vec{a}$、$\vec{AF} = \vec{b}$とするとき、以下のベクトルを$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

(1) $\vec{FE}$

(2) $\vec{BD}$

(3) $\vec{DA}$

(4) $\vec{CM}$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{FE}$について

$\vec{FE} = \vec{OE} - \vec{OF}$

$\vec{OF} = \vec{b}$であり、$\vec{OE} = -\vec{AB} = -\vec{a}$であるから、

$\vec{FE} = -\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{a} + \vec{b})$

(2) $\vec{BD}$について

$\vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB}$

$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = \vec{b} + \vec{a}$

$\vec{OD} = - \vec{AF} = - \vec{b}$

したがって、

$\vec{BD} = -\vec{b} - (\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - 2\vec{b}$

(3) $\vec{DA}$について

$\vec{DA} = -\vec{AD}$

$\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD} = \vec{AF} + \vec{AB} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{DA} = -(\vec{a} + \vec{b})$

(4) $\vec{CM}$について

$\vec{CM} = \vec{OM} - \vec{OC}$

$\vec{OC} = -\vec{AF} + \vec{AB} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b}$

$\vec{OM} = \frac{1}{2} (\vec{OD} + \vec{OE}) = \frac{1}{2} (-\vec{b} - \vec{a}) = -\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$

$\vec{CM} = -\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} - \vec{b}) = -\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a} + \vec{b} = -\frac{3}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{FE} = -(\vec{a} + \vec{b})$

(2) $\vec{BD} = -\vec{a} - 2\vec{b}$

(3) $\vec{DA} = -(\vec{a} + \vec{b})$

(4) $\vec{CM} = -\frac{3}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$