(1) $\triangle ABC$ の外接円の半径 $R$ を求めます。ただし、$\angle A = 60^\circ$ であり、辺 $BC = 8$ です。 (2) $\triangle ABC$ の外接円の半径 $R$ を求めます。ただし、$\angle B = 45^\circ$ であり、辺 $AC = \sqrt{2}$ です。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ の外接円の半径 $R$ を求めます。ただし、$\angle A = 60^\circ$ であり、辺 $BC = 8$ です。

(2) $\triangle ABC$ の外接円の半径 $R$ を求めます。ただし、$\angle B = 45^\circ$ であり、辺 $AC = \sqrt{2}$ です。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を利用します。正弦定理とは、三角形 $ABC$ において、外接円の半径を $R$ とすると、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

が成り立つというものです。

今回は $a = BC = 8$ であり、$\angle A = 60^\circ$ であるので、

$$\frac{8}{\sin 60^\circ} = 2R$$

$$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

であるから、

$$\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$$

$$\frac{16}{\sqrt{3}} = 2R$$

$$R = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$

(2) 正弦定理を利用します。正弦定理とは、三角形 $ABC$ において、外接円の半径を $R$ とすると、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

が成り立つというものです。

今回は $b = AC = \sqrt{2}$ であり、$\angle B = 45^\circ$ であるので、

$$\frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = 2R$$

$$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

であるから、

$$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$$

$$2 = 2R$$

$$R = 1$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

(2) $1$