長方形ABCDにおいて、$AB=2$, $AD=3$とする。$\vec{b}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{d}=\overrightarrow{AD}$とするとき、次のベクトルを$\vec{b}$と$\vec{d}$の線形結合で表し、規格化せよ。 (8) $\overrightarrow{AB}$ (9) $\overrightarrow{DA}$ (10) $\overrightarrow{AC}$ (11) $\overrightarrow{BD}$ (12) $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

わかりました。問題の(8)から(12)を解きます。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、$AB=2$, $AD=3$とする。$\vec{b}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{d}=\overrightarrow{AD}$とするとき、次のベクトルを$\vec{b}$と$\vec{d}$の線形結合で表し、規格化せよ。

(8) $\overrightarrow{AB}$

(9) $\overrightarrow{DA}$

(10) $\overrightarrow{AC}$

(11) $\overrightarrow{BD}$

(12) $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

2. 解き方の手順

まず、与えられたベクトルを$\vec{b}$と$\vec{d}$を用いて表します。次に、そのベクトルの大きさを計算し、ベクトルをその大きさで割ることで規格化します。

(8) $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$

ベクトルの大きさは $|\overrightarrow{AB}| = |\vec{b}| = 2$

規格化されたベクトルは $\frac{\vec{b}}{2}$

(9) $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} = -\vec{d}$

ベクトルの大きさは $|\overrightarrow{DA}| = |-\vec{d}| = |\vec{d}| = 3$

規格化されたベクトルは $-\frac{\vec{d}}{3}$

(10) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \vec{b} + \vec{d}$

ベクトルの大きさは $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{|\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

規格化されたベクトルは $\frac{\vec{b} + \vec{d}}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}\vec{b} + \frac{1}{\sqrt{13}}\vec{d}$

(11) $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = -\vec{b} + \vec{d}$

ベクトルの大きさは $|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{|-\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

規格化されたベクトルは $\frac{-\vec{b} + \vec{d}}{\sqrt{13}} = -\frac{1}{\sqrt{13}}\vec{b} + \frac{1}{\sqrt{13}}\vec{d}$

(12) $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 2\vec{b} + \vec{d}$

ベクトルの大きさは $|2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = |2\vec{b} + \vec{d}| = \sqrt{(2|\vec{b}|)^2 + |\vec{d}|^2} = \sqrt{(2\cdot 2)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

規格化されたベクトルは $\frac{2\vec{b} + \vec{d}}{5} = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{d}$

3. 最終的な答え

(8) $\frac{\vec{b}}{2}$

(9) $-\frac{\vec{d}}{3}$

(10) $\frac{1}{\sqrt{13}}\vec{b} + \frac{1}{\sqrt{13}}\vec{d}$

(11) $-\frac{1}{\sqrt{13}}\vec{b} + \frac{1}{\sqrt{13}}\vec{d}$

(12) $\frac{2}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{d}$