三角形OABにおいて、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。辺OAを3:2に内分する点をC、辺OBの中点をDとする。線分ADとBCの交点をEとするとき、$\vec{OE}$を$\vec{a}, \vec{b}$の1次結合で表す。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。辺OAを3:2に内分する点をC、辺OBの中点をDとする。線分ADとBCの交点をEとするとき、$\vec{OE}$を$\vec{a}, \vec{b}$の1次結合で表す。

2. 解き方の手順

まず、点Eが線分AD上にあることから、実数$s$を用いて

$\vec{OE} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD}$

と表せる。

ここで、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{b}$ なので、

$\vec{OE} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b}$

次に、点Eが線分BC上にあることから、実数$t$を用いて

$\vec{OE} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC}$

と表せる。

ここで、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \frac{3}{5}\vec{OA} = \frac{3}{5}\vec{a}$ なので、

$\vec{OE} = \frac{3t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

したがって、

$(1-s)\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b} = \frac{3t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して、

$1-s = \frac{3t}{5}$

$\frac{s}{2} = 1-t$

この連立方程式を解く。

第2式より $s=2-2t$。これを第1式に代入して、

$1-(2-2t) = \frac{3t}{5}$

$-1+2t = \frac{3t}{5}$

$10t - 5 = 3t$

$7t = 5$

$t = \frac{5}{7}$

したがって、$s = 2-2(\frac{5}{7}) = 2 - \frac{10}{7} = \frac{4}{7}$

ゆえに、

$\vec{OE} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b} = (1-\frac{4}{7})\vec{a} + \frac{1}{2}(\frac{4}{7})\vec{b} = \frac{3}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}$

または

$\vec{OE} = \frac{3t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b} = \frac{3}{5}(\frac{5}{7})\vec{a} + (1-\frac{5}{7})\vec{b} = \frac{3}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OE} = \frac{3}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}$