三角形OABにおいて、$\vec{OA} = a$, $\vec{OB} = b$とする。$\vec{OC} = -2a + 3b$, $\vec{OD} = 5a - 4b$となる点C, Dをとるとき、$\vec{AB} // \vec{CD}$となることを示す。

## 問題6

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$\vec{OA} = a$, $\vec{OB} = b$とする。$\vec{OC} = -2a + 3b$, $\vec{OD} = 5a - 4b$となる点C, Dをとるとき、$\vec{AB} // \vec{CD}$となることを示す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB}$と$\vec{CD}$を$a$と$b$を用いて表す。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = b - a$

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = (5a - 4b) - (-2a + 3b) = 7a - 7b = 7(a - b) = -7(b - a)$

$\vec{CD} = -7\vec{AB}$なので、$\vec{AB}$と$\vec{CD}$は平行である。

3. 最終的な答え

$\vec{AB} // \vec{CD}$である。

## 問題7

1. 問題の内容

$(a - 3b) // (a + b)$, $a \ne 0$, $b \ne 0$のとき、$a // b$であることを示す。

2. 解き方の手順

$(a - 3b) // (a + b)$より、ある実数kが存在して、

$a - 3b = k(a + b)$と表せる。

$a - 3b = ka + kb$

$(1 - k)a = (3 + k)b$

$a$と$b$は平行なので、ある実数$t$が存在して$a = tb$と表せる。

$(1 - k)tb = (3 + k)b$

$((1 - k)t - (3 + k))b = 0$

$b \ne 0$より、

$(1 - k)t - (3 + k) = 0$

$(1 - k)t = 3 + k$

$t = \frac{3 + k}{1 - k}$

または、$b = sa$の形に変形できるはずである。

$(1 - k)a = (3 + k)b$

$b = \frac{1 - k}{3 + k}a$

したがって、$a$と$b$は平行である。

3. 最終的な答え

$a // b$である。