(1) の図において、ED は円の接線で、AC は円の直径です。$\angle ABD = 60^\circ$, $\angle DCE = 70^\circ$ のとき、$\angle ADB$, $\angle BAD$, $\angle BAC$, $\angle CED$, $\angle CDE$ の大きさを求めます。 (2) の図において、四角形 ABCD は円に内接しています。$\angle A = 58^\circ$, $\angle F = 30^\circ$ のとき、$\angle BEC$ の大きさを求めます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) の図において、ED は円の接線で、AC は円の直径です。$\angle ABD = 60^\circ$, $\angle DCE = 70^\circ$ のとき、$\angle ADB$, $\angle BAD$, $\angle BAC$, $\angle CED$, $\angle CDE$ の大きさを求めます。

(2) の図において、四角形 ABCD は円に内接しています。$\angle A = 58^\circ$, $\angle F = 30^\circ$ のとき、$\angle BEC$ の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* $\angle ADB$:

円周角の定理より、$\angle ADB = \angle ACB$。

$\angle DCE = 70^\circ$ より、接弦定理から $\angle CAD = \angle DCE = 70^\circ$。

$\triangle ADC$ は直角三角形なので、$\angle ACD = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$。

したがって、$\angle ADB = \angle ACB = 20^\circ$。

* $\angle BAD$:

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$。

$\angle BAC$ を求めるために、まず $\triangle ABC$ に注目します。

$\angle ACB = \angle ADB = 20^\circ$ であり、$\angle ABC = \angle ABD = 60^\circ$ なので、

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - 20^\circ = 100^\circ$。

したがって、$\angle BAD = 100^\circ + 70^\circ = 170^\circ$。

* $\angle BAC$:

上記で求めたように、$\angle BAC = 100^\circ$。

* $\angle CED$:

$\angle CED = \angle CDE$ であることを利用します（$\triangle CDE$は二等辺三角形）。

$\angle CDE = \angle CAE$ は接弦定理の関係にあります。

$\angle CAE = \angle CAD - \angle EAD$.

$\angle EAD$ を求めるために、$\angle DAC = 70^{\circ}$, $\angle BAC = 100^{\circ}$, $\angle ADC = 90^{\circ}$を使います。

$\angle CAD = 70^{\circ}$, $\angle ACB = 20^{\circ}$ であり、$\angle ABC = 60^{\circ}$ です。

よって、円周角の定理より $\angle ADC= \angle ABC = 60^{\circ}$。

これは矛盾しているので接弦定理を使って考え直します。

接弦定理より $\angle DAC = \angle DCE = 70^\circ$ です。

したがって$\angle CDE=180^\circ - \angle DCE - \angle CED$, $\angle DCE=70^\circ$, $\angle CED=x$ とすると

$x = 180-70-x$.

$2x=110$,

$x = 55^\circ$.

したがって、$\angle CED = 55^\circ$。

* $\angle CDE$:

上記で求めたように、$\angle CDE = 55^\circ$。

(2)

* $\angle BEC$:

四角形 ABCD は円に内接しているので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$。

また、$\angle DAC = 180^\circ - \angle ADC - \angle ACD$。

$\angle FAC = 30^\circ$ なので、$\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 58^\circ$。

$\angle ABC + \angle ADC = 180$ で、$\angle DAB + \angle DCB = 180$。

$\angle BAC = 58^\circ$.

$\angle DCB + 30^\circ=180^\circ$

$\angle DCB = 150^\circ$.

$58 + \angle ABC= 180$,

$\angle ABC = 122^\circ$.

$\angle BEC = \angle ABC- \angle A -\angle C = 180 - (\angle B+\angle E)$

$\angle BCE+\angle EBC + \angle BEC=180$.

$\angle ECA+\angle BEC+\angle ACB$.

$\angle BEC = \angle D - \angle BAC$.

$\angle EBC = 58$ なので、$\angle BEC=58$.

3. 最終的な答え

(1)

* $\angle ADB = 20^\circ$

* $\angle BAD = 170^\circ$

* $\angle BAC = 100^\circ$

* $\angle CED = 55^\circ$

* $\angle CDE = 55^\circ$

(2)

* $\angle BEC = 32^\circ$