2点 $A(a, b)$ と $B(b, a)$ が、直線 $y=x$ に関して対称であることを示す問題です。ただし、$a \neq b$とします。

1. 問題の内容

2点 $A(a, b)$ と $B(b, a)$ が、直線 $y=x$ に関して対称であることを示す問題です。ただし、$a \neq b$とします。

2. 解き方の手順

直線 $y=x$ に関して2点 $A(a, b)$ と $B(b, a)$ が対称であることを示すには、以下の2つの条件が成り立つことを示せば良いです。

* 条件1: 線分 $AB$ の中点が直線 $y=x$ 上にある。

* 条件2: 直線 $AB$ と直線 $y=x$ が垂直に交わる。

まず、条件1について考えます。線分 $AB$ の中点 $M$ の座標は、

$$M = \left( \frac{a+b}{2}, \frac{b+a}{2} \right)$$

となります。 $M$ の $x$ 座標と $y$ 座標が等しいので、$M$ は直線 $y=x$ 上にあります。よって、条件1は満たされます。

次に、条件2について考えます。直線 $AB$ の傾き $m_{AB}$ は、

$$m_{AB} = \frac{a-b}{b-a} = \frac{-(b-a)}{b-a} = -1$$

となります。また、直線 $y=x$ の傾き $m_{y=x}$ は $1$ です。

2つの直線が垂直に交わる条件は、$m_{AB} \times m_{y=x} = -1$ となることです。

$$m_{AB} \times m_{y=x} = -1 \times 1 = -1$$

したがって、直線 $AB$ と直線 $y=x$ は垂直に交わります。よって、条件2は満たされます。

以上のことから、2点 $A(a, b)$ と $B(b, a)$ は直線 $y=x$ に関して対称であることが示されました。

3. 最終的な答え

2点 $A(a, b)$ と $B(b, a)$ は直線 $y=x$ に関して対称である。