2点A(4, -2), B(-2, 6)が与えられている。 (1) 2点A, Bを通る直線lの方程式を求める。 (2) 原点Oと直線lの距離を求める。 (3) 三角形OABの面積を求める。

1. 問題の内容

2点A(4, -2), B(-2, 6)が与えられている。

(1) 2点A, Bを通る直線lの方程式を求める。

(2) 原点Oと直線lの距離を求める。

(3) 三角形OABの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点を通る直線の方程式を求める。

直線の傾きmは $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ で求められる。

この問題では、A(4, -2)とB(-2, 6)を通るので、

$m = \frac{6 - (-2)}{-2 - 4} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$

直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。

点A(4, -2)と傾き$m = -\frac{4}{3}$を使うと、

$y - (-2) = -\frac{4}{3}(x - 4)$

$y + 2 = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3}$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3} - 2$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

両辺を3倍すると、

$3y = -4x + 10$

$4x + 3y - 10 = 0$

(2) 原点と直線lの距離を求める。

点(x_0, y_0)と直線$ax + by + c = 0$の距離dは、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で求められる。

原点(0, 0)と直線$4x + 3y - 10 = 0$の距離dは、

$d = \frac{|4(0) + 3(0) - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$

(3) 三角形OABの面積を求める。

三角形の面積は、ベクトルの外積を用いて計算できる。

ベクトル$\vec{OA} = (4, -2)$、ベクトル$\vec{OB} = (-2, 6)$

面積$S = \frac{1}{2}|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{1}{2}|4 \cdot 6 - (-2) \cdot (-2)| = \frac{1}{2}|24 - 4| = \frac{1}{2}|20| = 10$

または、直線$4x + 3y - 10 = 0$と点A(4,-2)の距離をhとすると

$h = \frac{|4(4) + 3(-2) - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|16 - 6 - 10|}{5} = \frac{0}{5} = 0$

つまり点Aは直線上にあるので、点Aは直線l上に存在し、三角形OABの面積は公式から求められない。

そこで、O(0,0), A(4,-2), B(-2,6) として、面積Sは

$S = \frac{1}{2} | (x_A y_B - x_B y_A) | = \frac{1}{2} | (4 \cdot 6 - (-2) \cdot (-2)) | = \frac{1}{2} | 24 - 4 | = \frac{1}{2} | 20 | = 10$

3. 最終的な答え

(1) $4x + 3y - 10 = 0$

(2) 2

(3) 10