赤玉5個と白玉2個が入った袋から、元に戻さずに1個ずつ続けて3回玉を取り出す。このとき、赤玉が出る個数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $X$ の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉5個と白玉2個が入った袋から、元に戻さずに1個ずつ続けて3回玉を取り出す。このとき、赤玉が出る個数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $X$ の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

期待値の線形性を用いることを考えます。$i$ 回目に取り出した玉が赤玉であるという事象を $A_i$ とし、$A_i$ が起こる確率を $P(A_i)$ とします。

$i$ 回目に取り出した玉が赤玉であるとき、$X_i = 1$ とし、そうでないとき $X_i = 0$ となる確率変数 $X_i$ を定義します。

$X = X_1 + X_2 + X_3$ となり、$X_i$ はベルヌーイ分布に従います。

期待値の線形性より $E[X] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]$ となります。

$E[X_i] = P(A_i)$ となるので、$P(A_1), P(A_2), P(A_3)$ をそれぞれ求めます。

まず、$P(A_1)$ について、1回目に赤玉が出る確率は $\frac{5}{7}$ です。

$P(A_1) = \frac{5}{7}$

次に、$P(A_2)$ について、2回目に赤玉が出る確率は、1回目に赤玉が出た場合と白玉が出た場合に分けて考えます。

1回目に赤玉が出た場合、2回目に赤玉が出る確率は $\frac{5}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{20}{42}$

1回目に白玉が出た場合、2回目に赤玉が出る確率は $\frac{2}{7} \times \frac{5}{6} = \frac{10}{42}$

よって、$P(A_2) = \frac{20}{42} + \frac{10}{42} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7}$

次に、$P(A_3)$ について、3回目に赤玉が出る確率は、

1回目に赤玉、2回目に赤玉が出た場合: $\frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{60}{210}$

1回目に赤玉、2回目に白玉が出た場合: $\frac{5}{7} \times \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{40}{210}$

1回目に白玉、2回目に赤玉が出た場合: $\frac{2}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{40}{210}$

1回目に白玉、2回目に白玉が出た場合: $\frac{2}{7} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{5} = \frac{10}{210}$

よって、$P(A_3) = \frac{60}{210} + \frac{40}{210} + \frac{40}{210} + \frac{10}{210} = \frac{150}{210} = \frac{5}{7}$

したがって、$E[X] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3] = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = \frac{5}{7} + \frac{5}{7} + \frac{5}{7} = \frac{15}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{7}$