袋の中に青玉1個、白玉2個、赤玉3個が入っている。A, B, Cの順に1個ずつ玉を取り出し、最初に白玉を取り出した人を勝ちとする。取り出した玉は元に戻さないとき、A, B, Cが勝つ確率をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に青玉1個、白玉2個、赤玉3個が入っている。A, B, Cの順に1個ずつ玉を取り出し、最初に白玉を取り出した人を勝ちとする。取り出した玉は元に戻さないとき、A, B, Cが勝つ確率をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) Aが勝つ確率

Aが1回目で白玉を引く場合: $2/6 = 1/3$

(2) Bが勝つ確率

Aが白玉を引かず、Bが白玉を引く場合を考える。

Aが白玉以外を引く確率は $4/6 = 2/3$。

このとき、袋の中には白玉2個、残りの玉3個、合計5個の玉が入っている。

Bが白玉を引く確率は $2/5$。

したがって、Bが勝つ確率は $(2/3) \times (2/5) = 4/15$。

(3) Cが勝つ確率

AとBが白玉を引かず、Cが白玉を引く場合を考える。

Aが白玉以外を引く確率は $4/6 = 2/3$。

Bが白玉以外を引く確率は、Aが引いた後に袋に残っている5個のうち、白玉2個以外を引く確率である。

Aが赤玉を引いた場合、残りの玉は白2, 青1, 赤2。Bが白玉以外を引く確率は $3/5$。

Aが青玉を引いた場合、残りの玉は白2, 赤3。Bが白玉以外を引く確率は $3/5$。

どちらの場合も $3/5$ なので、Bが白玉以外を引く確率は $3/5$。

このとき、袋の中には白玉2個、残りの玉2個、合計4個の玉が入っている。

Cが白玉を引く確率は $2/4 = 1/2$。

したがって、Cが勝つ確率は $(2/3) \times (3/5) \times (1/2) = 1/5$。

3. 最終的な答え

Aが勝つ確率: $1/3$

Bが勝つ確率: $4/15$

Cが勝つ確率: $1/5$